Inneres eines n-Simplex < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:40 So 01.04.2007 | | Autor: | JuliaF |
| Aufgabe | | Seien [mm] v_{1} [/mm] bis [mm] v_{n+1} [/mm] affin unabhängige Punkte im [mm] R^d. [/mm] Dann hat das d-dimensionale Simplex, welches sich als konvexe hülle der n+1 affinen punkte schreiben lässt, ein nicht-leeres Inneres. |
Hallo,
ich hatte diese Frage schon einmal gestellt, aber wahrscheinlich im falschen Forum.
Ich denke der Beweis zu dem Satz sollte nicht so schwer sein, aber ich komme an einer Stelle trotzdem nicht weiter. Und zwar nimmt man sich wohl am besten einen Punkt aus dem Simplex, also [mm] u = ( v_{1} + ... + v_{n+1}) / (d+1)[/mm] Und nun muss man zeigen dass eine epsilonumgebung existiert, sodass die kugel b(u,epsilon) eine teilmenge des simplexes ist.
Hierzu könnte man also einen Punkt w nehmen, der sich als Linearkombination der affinen punkte schreiben lässt. Wenn dieser Punkt dann möglichst nah an u ist, wären alle gammas o.ä. positiv und das w aus dem simplex, bzw der konvexen hülle.
Wie kann ich das aber mathematisch aufschreiben?
Kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:48 Di 03.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo Julia,
nimm zunächst einmal an, dass das Simplex vom Nullpunkt und den Standardbasisvektoren [mm] e_1,\ldots,e_n [/mm] des [mm] \IR^n [/mm] aufgespannt wird, d.h.
$$
[mm] S=\{x=(x_1,\ldots,x_n)| x_i\geq 0 \text{ und } \sum_i x_i\leq 1\}. [/mm]
$$
Dann liegt der Punkt [mm] $x=\frac{1}{2n}(1,\ldots,1)$ [/mm] in $S$. Die $n$ Koordinatenfunktionen
$$
[mm] y\mapsto y_i
[/mm]
$$
und die Koordinatensummenfunktion
$$
[mm] y\mapsto \sum_i y_i
[/mm]
$$
sind stetig auf $S$. Also ist [mm] $x\in [/mm] S$ ein innerer Punkt von $S$, denn diese Funktionen bilden ihn auf einen inneren Punkt von [mm] $[0,\infty)$ [/mm] bzw. [mm] $(-\infty,1]$ [/mm] ab. Damit sind wir in unserem Spezialfall fertig. Im allgemeinen definiert [mm] $0\mapsto v_1$ [/mm] und [mm] $e_i\mapsto v_{i+1}$ [/mm] eine invertierbare affine Transformation [mm] $\phi\colon \IR^n\rightarrow\IR^n$, [/mm] die Dir unser Standardsimplex bijektiv auf das vorgegebene abbildet. An dieser Stelle geht ein, das die Vektoren affin linear unabhängig sind. Da [mm] $\phi^{-1}$ [/mm] stetig ist, ist
$$
[mm] \phi(x)=v_1+\frac{1}{2n}\sum_{i=2}^n (v_i-v_1)
[/mm]
$$
innerer Punkt von [mm] $\Phi(S)$.
[/mm]
Volker
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