Inneres, Rand, abgeschl. Hülle < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:23 So 08.04.2012 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Bestimmen Sie für die folgenden Teilmengen von [mm] \IR^2 [/mm] jeweils das Innere, den Rand und die abgeschlossene Hülle:
(i) [mm] \IN\times\IQ
[/mm]
(ii) $ \ [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty} [/mm] \ [mm] [\bruch{1}{n+1}, [/mm] \ [mm] \bruch{1}{n}[ [/mm] \ [mm] \times [/mm] \ ] \ 0, \ n \ [ $
(iii) $ \ [mm] \{ \ ]\bruch{1}{m}, \ \bruch{1}{n} \ [ \ \times \ \{0\} \ | \ m,n\in\IZ\backslash 0 \ \} [/mm] $
(iv) $ [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty} [/mm] \ [mm] \overline{B_{\bruch{1}{n}}((\bruch{1}{n},n))} [/mm] $ |
Hallo! Bräuchte hier ein wenig Hilfestellung:
Erstmal zu (i): Ist hier die Menge aller Vektoren im [mm] \IR^2 [/mm] gemeint, die die Form haben [mm] \vektor{n\\q} [/mm] mit [mm] n\in\IN [/mm] und [mm] q\in\IQ [/mm] ?
Wie bestimme ich jetzt das Gesuchte?
Ist die abgeschlossene Hülle [mm] \IN\times\IR\backslash\IQ [/mm] oder liege ich damit daneben?
Bin für jeden Tipp dankbar! :)
Gruß
chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 10.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo chesn,
ich interessiere mich für die gleiche Aufgabe, vielleicht können wir uns gegenseitig helfen.
Ich denke bei:
[mm] \IN \times \IQ
[/mm]
gibt es keinen allgemeinen Rand,
da die Abbildung an einigen Seiten offen ist.
Da nun aber das Innere, alles außer dem Rand ist, wird die gesamte Abbildung, das Innere sein.
Es müsste verschiedene Ränder dieser Abbildung geben aber keinen gesamten Rand.
für ii) folgt demnach das gleiche
Villeicht postest du einfach noch einmal deine Definitionen und wir überlegen gemeinsam.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:35 Mi 11.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo chesn,
> ich interessiere mich für die gleiche Aufgabe, vielleicht
> können wir uns gegenseitig helfen.
>
> Ich denke bei:
>
> [mm]\IN \times \IQ[/mm]
>
> gibt es keinen allgemeinen Rand,
Das ist falsch.
Der Rand obiger Menge ist [mm]\IN \times \IR[/mm]
Schau mal nach, wie Randpunkte def. sind.
FRED
> da die Abbildung an einigen Seiten offen ist.
> Da nun aber das Innere, alles außer dem Rand ist, wird
> die gesamte Abbildung, das Innere sein.
> Es müsste verschiedene Ränder dieser Abbildung geben
> aber keinen gesamten Rand.
> für ii) folgt demnach das gleiche
>
> Villeicht postest du einfach noch einmal deine Definitionen
> und wir überlegen gemeinsam.
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Hallo,
Mein Ansatz um das zu zeigen wäre,
Sei [mm] \IN \subset [/mm] M
Sei x [mm] \in [/mm] M [mm] \setminus \IN
[/mm]
und [mm] \varepsilon [/mm] > 0
[mm] \Rightarrow U(x,\varepsilon )\cap [/mm] M \ [mm] \IN [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
Sei y [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] U(y, [mm] \varepsilon)\cap \IN [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Rand von [mm] \IN [/mm] = [mm] \IN
[/mm]
Rand von [mm] \IQ [/mm] ist [mm] \IR [/mm] da [mm] \IQ [/mm] dicht in [mm] \IR [/mm] liegt.
[mm] \Rightarrow [/mm] Rand ist : [mm] \IN \times \IR
[/mm]
Falls das richtig ist, habe ich aber noch die Frage wie man bei solchen Aufgaben auf die nächsthöhere Menge kommt also zum Beispiel bei Q -> R
Hätte ich zum Beispiel bei N Teilmenge M nicht auch einen andere Obermenge wählen können?
Falls das nicht richtig ist, bin ich für Tipps dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 So 15.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> Mein Ansatz um das zu zeigen wäre,
>
> Sei [mm]\IN \subset[/mm] M
Was ist M ???????????
>
> Sei x [mm]\in[/mm] M [mm]\setminus \IN[/mm]
> und [mm]\varepsilon[/mm] > 0
> [mm]\Rightarrow U(x,\varepsilon )\cap[/mm] M \ [mm]\IN[/mm] = [mm]\emptyset[/mm]
?????
>
> Sei y [mm]\in \IN[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] U(y, [mm]\varepsilon)\cap \IN[/mm] =
> [mm]\emptyset[/mm]
Unfug ! y liegt doch im Schnitt.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Rand von [mm]\IN[/mm] = [mm]\IN[/mm]
Das stimmt zwar, aber gezeigt hast Du es nicht.
>
> Rand von [mm]\IQ[/mm] ist [mm]\IR[/mm] da [mm]\IQ[/mm] dicht in [mm]\IR[/mm] liegt.
Ja
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Rand ist : [mm]\IN \times \IR[/mm]
Nichts hast Du gezeigt.
FRED
>
> Falls das richtig ist, habe ich aber noch die Frage wie man
> bei solchen Aufgaben auf die nächsthöhere Menge kommt
> also zum Beispiel bei Q -> R
> Hätte ich zum Beispiel bei N Teilmenge M nicht auch einen
> andere Obermenge wählen können?
> Falls das nicht richtig ist, bin ich für Tipps dankbar.
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Fred auch wenn das falsch ist und das Internet ein anonymer Ort ist,
musst du dich nicht gleich so unangemessen verhalten.
Ich weiß nicht wie ich die richtige Obermenge zu [mm] \IN [/mm] wählen soll und besonders, diese im Allgemeinen finden soll.
Also ich bestimme erst die natürlichen Zahlen als eine Teilmenge von den rationalen Zahlen.
[mm] \IN \subset \IQ
[/mm]
Dann nehme ich ein Element der rationalen Zahlen.
Sei x [mm] \in \IQ
[/mm]
und eine Epsilon größer 0.
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0.
Dann schneide ich die Umgebung von x und Epsilon mit den natürlichen Zahlen.
[mm] U(x,\varepsilon) \cap \IN
[/mm]
und erhalte im Allgemeinen:
[mm] U(x,\varepsilon [/mm] ) [mm] \cap \IN [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
Muss ich das jetzt noch begründen(durch die Darstellung der rationalen Zahlen?-Das könnte ich doch durch Induktion in einer Ungleichung machen, oder?)
Danach schneide ich die Obermenge der rationalen Zahlen außer A mit der Umgebung.
[mm] U(x,\varepsilon) \cap \IQ [/mm] \ [mm] \IN [/mm]
und erhalte das der Schnitt leer ist, da [mm] \IQ [/mm] nicht abgeschlossen ist und damit in der Umgebung jeder natürlichen Zahl in [mm] \IQ [/mm] noch beliebig weitere Zahlen liegen.(-zumindest im Allgemeinen, oder?-)
[mm] U(x,\varepsilon) [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
Och Mist jetzt hätte ich bewiesen, dass die rationalen Zahlen der Rand sind.
Aber wenn ich die natürlichen Zahlen als Teilmenge der natürlichen Zahlen nehme erhalte ich doch für ein x [mm] \in \IN [/mm] :
[mm] U(x,\varepsilon) \cap \IN [/mm] = x
womit die Umgebung nicht leer wäre und damit auch kein Rand.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 18:51 Do 19.04.2012 | | Autor: | chesn |
Hallo! Mi Bitte um Korrektur:
(i) [mm] \IN\times\IQ [/mm] :
Inneres ist [mm] \IN\times\IQ [/mm] selbst.
Rand ist [mm] \IN\times\IR [/mm] denn [mm] \IQ [/mm] liegt dicht in [mm] \IR.
[/mm]
Hülle ist Inneres mit Rand also ebenfalls [mm] \IN\times\IQ.
[/mm]
(ii) [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}[\bruch{1}{n+1},\bruch{1}{n}[\times]0,n[
[/mm]
Es ist [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}[\bruch{1}{n+1},\bruch{1}{n}[=[\bruch{1}{2},1[\cup[\bruch{1}{3},\bruch{1}{2}[\cup[\bruch{1}{4},\bruch{1}{3}[\cup... [/mm] also insgesamt das Intervall ]0,1[ was das Innere der Menge wäre.
Der Rand wäre dann [mm] \{0,1\} [/mm] und Hülle [0,1].
Weiter mit ]0,n[ : [mm] ]0,1[\cup]0,2[\cup]0,3[\cup... [/mm] macht [mm] ]0,\infty[ [/mm] was das Innere wäre. Rand damit [mm] \{0,\infty\} [/mm] und Hülle [mm] [0,1]\times[0,\infty[
[/mm]
Also: Inneres [mm] ]0,1[\times]0,\infty[, [/mm] Rand [mm] \{0,1\}\times\{0,\infty\} [/mm] und Hülle [mm] [0,1]\times[0,\infty]
[/mm]
(iii) Hier ist das Innere die Menge selbst, der Rand [mm] \{\bruch{1}{m},\bruch{1}{n}\}\times\{0\} [/mm] und die Hülle [mm] [\bruch{1}{m},\bruch{1}{n}]\times\{0\}
[/mm]
(iv) kommt später
Ist das soweit erstmal richtig??
Vielen Dank und liebe Grüße!
Chesn
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Sa 21.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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