Inneres Maß < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:16 So 12.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Für jede Teilmenge E von I=[0,1] sei [mm] m_{*}(E):=1-m^{*}(I\backslash [/mm] E) definiert; [mm] m_{*}(E) [/mm] heißt inneres Maß von E . Zeigen Sie:
[mm] E\subseteq [/mm] I ist [mm] m^{*}-messbar \gdw m^{*}(E)=m_{*}(E) [/mm] |
[Ich weiß nicht, ob man das vernünftig lesen kann: Bei dem inneren Maß ist das "Sternchen" * unten, bei dem oberen Maß steht das "Sternchen" * oben und am Ende steht dort: inneres Maß von E=äußeres Maß von E.]
Hier muss man [mm] "\Rightarrow" [/mm] und [mm] "\Leftarrow" [/mm] zeigen.
Wer kann mir für eine der Richtungen (oder im besten Fall: für beide Richtugen) einen Tipp geben, wie man weiter machen kann?
[mm] "\Rightarrow":
[/mm]
Sei [mm] E\subseteq [/mm] I [mm] m^{*}-messbar. [/mm] Dann gilt für eine Menge [mm] A\in \mathcal{P}(X):
[/mm]
[mm] m^{*}(B)=m^{*}(A\cap B)+m^{*}(B\backslash A) [/mm] für alle [mm] B\in \mathcal{P}(X)
[/mm]
.... [???]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 So 12.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
[mm] "\Rightarrow:"
[/mm]
Sei [mm] E\subseteq [/mm] I=[0,1] [mm] m^{*}-messbar.
[/mm]
Dann gilt für alle [mm] F\subseteq [/mm] I=[0,1]:
[mm] m^{*}(F)=m^{*}(E\cap F)+m^{*}(F\backslash E). [/mm](*)
[mm] m^{*}(E)=m^{*}(F\cap E)+1-m^{*}(F+I\backslash (E\cup F)) [/mm]
Dann gilt mit (*):
[mm] m^{*}(E)=m^{*}(F)-m^{*}(F\backslash E)+1-m^{*}(F+I\backslash (E\cup F)) [/mm]
[mm] =1-m^{*}(F+I\backslash (E\cup F))+m^{*}(F)-m^{*}(F\backslash E)) [/mm]
[mm] =1-(m^{*}(F+I\backslash (E\cupF))-m^{*}(F)+m^{*}(F\backslash E))=E=1-m^{*}(I\backslash E)=m_{*}(E) [/mm]
[Ist damit nicht eigentlich auch schon die Rückrichtung gezeigt, d.h. könnte ich statt der = nicht auch [mm] \gdw [/mm] schreiben?]
[Ich weiß nicht, ob man das so zeigen kann. Ich habe mir jedenfalls das Intervall [0,1] aufgezeichnet, zwei Teilmengen E und F eingemalt und bin dann darüber, dass [mm] m^{*} [/mm] in diesem eindimensionalen Fall ja die Länge der einzelnen Intervalle misst, auf obiges Resultat gekommen.]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:23 Di 14.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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