Innere direkte summe < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:45 Do 01.03.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Betrachte die beiden teilräume
[mm] W_1 [/mm] := [mm] \{\vektor{x \\ y \\z} \in \IR^3 | x+y=0, y+z=0\}
[/mm]
[mm] W_2:=\{\vektor{x \\ y \\z} \in \IR^3 | x+z=0\}
[/mm]
Zeige [mm] W_1 \oplus W_2 [/mm] = [mm] \IR^3 [/mm] |
Das der Durchschnitt leer ist hab ich geschafft
ZZ: [mm] W_1 +W_2 [/mm] = [mm] \IR^3
[/mm]
Idee:
[mm] \vektor{x \\ y \\z}= \vektor{x -x_1\\ y-y_2 \\z-z_3} [/mm] + [mm] \vektor{x _1\\ y_2 \\z_3}
[/mm]
Angenommen [mm] \vektor{x -x_1\\ y-y_2 \\z-z_3} \in W_1
[/mm]
[mm] \vektor{x _1\\ y_2 \\z_3} \in W_2
[/mm]
II [mm] x_1 [/mm] + [mm] z_3 [/mm] =0 <=> [mm] x_1 [/mm] = - [mm] z_3
[/mm]
I [mm] (x-x_1) [/mm] + [mm] (y-y_2)=0 [/mm] <=> [mm] (y-y_2)=-(x-x_1) [/mm]
[mm] (y-y_2) [/mm] + [mm] (z-z_3)=0 [/mm] <=> [mm] (y-y_2)=-(z-z_3)
[/mm]
[mm] x-x_1 [/mm] = z - [mm] z_3
[/mm]
<=> x- [mm] (-z_3) [/mm] = z- [mm] z_3
[/mm]
<=> [mm] x+z_3 [/mm] = z [mm] -z_3
[/mm]
<=> [mm] z_3= [/mm] (z-x)/2
[mm] x_1 [/mm] = (x-z)/2
[mm] (y-y_2)=-(z-z_3)
[/mm]
[mm] -y_2= -z+z_3 [/mm] - y
[mm] y_2 [/mm] = z - [mm] z_3 [/mm] + y
[mm] \vektor{x \\ y \\z}= \vektor{x -(x-z)/2\\ y- (z - z_3 + y) \\z-((z-x)/2)} [/mm] + [mm] \vektor{(x-z)/2\\ z - z_3 + y\\(z-x)/2}
[/mm]
STimmt das??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:21 Do 01.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Betrachte die beiden teilräume
> [mm]W_1[/mm] := [mm]\{\vektor{x \\ y \\z} \in \IR^3 | x+y=0, y+z=0\}[/mm]
>
> [mm]W_2:=\{\vektor{x \\ y \\z} \in \IR^3 | x+z=0\}[/mm]
> Zeige [mm]W_1 \oplus W_2[/mm]
> = [mm]\IR^3[/mm]
> Das der Durchschnitt leer ist hab ich geschafft
> ZZ: [mm]W_1 +W_2[/mm] = [mm]\IR^3[/mm]
> Idee:
> [mm]\vektor{x \\ y \\z}= \vektor{x -x_1\\ y-y_2 \\z-z_3}[/mm] +
> [mm]\vektor{x _1\\ y_2 \\z_3}[/mm]
> Angenommen [mm]\vektor{x -x_1\\ y-y_2 \\z-z_3} \in W_1[/mm]
>
> [mm]\vektor{x _1\\ y_2 \\z_3} \in W_2[/mm]
>
> II [mm]x_1[/mm] + [mm]z_3[/mm] =0 <=> [mm]x_1[/mm] = - [mm]z_3[/mm]
>
> I [mm](x-x_1)[/mm] + [mm](y-y_2)=0[/mm] <=> [mm](y-y_2)=-(x-x_1)[/mm]
> [mm](y-y_2)[/mm] + [mm](z-z_3)=0[/mm] <=> [mm](y-y_2)=-(z-z_3)[/mm]
> [mm]x-x_1[/mm] = z - [mm]z_3[/mm]
> <=> x- [mm](-z_3)[/mm] = z- [mm]z_3[/mm]
> <=> [mm]x+z_3[/mm] = z [mm]-z_3[/mm]
> <=> [mm]z_3=[/mm] (z-x)/2
>
> [mm]x_1[/mm] = (x-z)/2
>
> [mm](y-y_2)=-(z-z_3)[/mm]
> [mm]-y_2= -z+z_3[/mm] - y
> [mm]y_2[/mm] = z - [mm]z_3[/mm] + y
>
>
> [mm]\vektor{x \\ y \\z}= \vektor{x -(x-z)/2\\ y- (z - z_3 + y) \\z-((z-x)/2)}[/mm]
> + [mm]\vektor{(x-z)/2\\ z - z_3 + y\\(z-x)/2}[/mm]
>
> STimmt das??
Ja, aber verwende doch , dass $ [mm] z_3= [/mm] $ (z-x)/2 ist. Vereinfachen kannst Du auch noch.
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:05 Fr 02.03.2012 | | Autor: | Lu- |
Hei, danke
<=> [mm] y_2 [/mm] = [mm] \frac{z+x+2y}{2}
[/mm]
[mm] \vektor{x \\ y \\z}=\vektor{x -(x-z)/2\\ y- (\frac{z+x+2y}{2}) \\z-((z-x)/2)}+\vektor{(x-z)/2\\ \frac{z+x+2y}{2}\\(z-x)/2} [/mm] $
<=>
[mm] \vektor{x \\ y \\z}=\vektor{x+z\\ -z-x \\z+x} +\vektor{x-z\\z+x+2y\\z-x}
[/mm]
Oder hätte ich die zwei nicht wegkürzen dürfen? Ich glaub nicht, weil so stimmt es ja nicht mehr oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 So 04.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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moin,
Da du bereits direkte Summen kennst, kennst du doch sicher auch die zugehörige Dimensionsformel?
Es ist [mm] $dim(W_1 \oplus W_2) [/mm] = [mm] dim(W_1) [/mm] + [mm] dim(W_2)$
[/mm]
Basen von [mm] $W_1$ [/mm] und [mm] $W_2$ [/mm] zu finden dürfte kein all zu großes Problem sein, damit hast du also [mm] $dim(W_1 \oplus W_2) [/mm] = 3$ und da [mm] $W_1 \oplus W_2 \subseteq \IR^3$ [/mm] kannst du folgern, dass [mm] $W_1 \oplus W_2 [/mm] = [mm] \IR^3$; [/mm] und zwar ohne Rechnung.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Fr 02.03.2012 | | Autor: | Lu- |
Basis [mm] W_1: \vektor{1 \\-1\\1}
[/mm]
Basis [mm] W_2: \vektor{-1 \\-0\\1}, \vektor{0 \\1\\0}
[/mm]
[mm] dim(W_1)=1
[/mm]
[mm] dim(W_2)=2
[/mm]
Basis von [mm] W_1 [/mm] + [mm] W_2
[/mm]
[mm] \vektor{-1 \\-0\\1}, \vektor{0 \\1\\0} \cup \vektor{1 \\-1\\1}
[/mm]
diese sind linear unabhängig und Erzeugendensystem vom [mm] \IR^3
[/mm]
[mm] dim(W_1 [/mm] + [mm] W_2) [/mm] = 3
Jedoch habe ich danach Fragen zur Projektion und da brauch ich ja schon die Zerlegung oder?
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> Basis [mm]W_1: \vektor{1 \\-1\\1}[/mm]
> Basis [mm]W_2: \vektor{-1 \\-0\\1}, \vektor{0 \\1\\0}[/mm]
>
> [mm]dim(W_1)=1[/mm]
> [mm]dim(W_2)=2[/mm]
>
> Basis von [mm]W_1[/mm] + [mm]W_2[/mm]
> [mm]\vektor{-1 \\-0\\1}, \vektor{0 \\1\\0} \cup \vektor{1 \\-1\\1}[/mm]
>
> diese sind linear unabhängig und Erzeugendensystem vom
> [mm]\IR^3[/mm]
> [mm]dim(W_1[/mm] + [mm]W_2)[/mm] = 3
>
> Jedoch habe ich danach Fragen zur Projektion und da brauch
> ich ja schon die Zerlegung oder?
Das kommt immer ganz auf die Fragen drauf an...
Wenn du einfach nur die Abbildungsmatrix der Projektion(en) haben möchtest könntest du das auch mit diesen drei Basisvektoren und einem Basiswechsel regeln.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 Fr 02.03.2012 | | Autor: | Lu- |
Ja die AUfgabe lautte: Bestimme die Matrix der Projektion auf [mm] W_1 [/mm] längs [mm] W_2.
[/mm]
Wie kann ich das nun mit "deiner" Methode erledigen?, das habe ich nicht ganz verstanden.
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Die drei Vektoren, die du da oben genannt hast, sind ja eine Basis des [mm] $\IR^3$.
[/mm]
Bestimme erstmal die Matrix bezüglich dieser Basis (Tipp: Das ist eine Diagonalmatrix).
Dann wende auf diese Matrix einen Basiswechsel zur Standardbasis an (denn in dieser möchtest du die Abbildungsmatrix ja haben).
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Sa 03.03.2012 | | Autor: | Lu- |
Ich riskiere die dumme Frage. Aber wie
> bestimme ich erstmal die Matrix bezüglich dieser Basis ?
Basen: $ [mm] \vektor{-1 \\0\\1}, \vektor{0 \\1\\0} \cup \vektor{1 \\-1\\1} [/mm] $
Spalten schreibe ich mal in eine Matrix
[mm] \pmat{ -1 & 0&1 \\ 0 & 1 &-1\\1&0&1}
[/mm]
Wie hast du das denn gemeint?
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Eine Projektion auf den Unterraum haut den Unterraum auf sich selbst, alles andere auf 0.
Die Abbildungsmatrix ist also:
[mm] $\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0}$
[/mm]
Natürlich ist dies erstmal nur die Matrix bezüglich der passenden Basis (welcher?), du musst, um auf die Standardbasis zu kommen, also noch einen Basiswechsel machen.
Weißt du, was genau ein Basiswechsel ist und wie der dir bei linearen Abbildungen nutzen kann?
lg
Schadow
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