Innenkugelbedingung/Normalabl. < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei G [mm] \subset \IR^n [/mm] ein Gebiet. Für einen Punkt [mm] x_0 \in \partial [/mm] G gilt eine Innenkugelbedingung, wenn eine offene Kugel K [mm] \subset [/mm] G existiert mit [mm] x_0 \in \partial [/mm] K.
Sei Lu = [mm] -a_{ij}(x)D_{ij}^2u+b_i(x)D_{i}u [/mm] gleichmäßig elliptisch mit beschränkten Koeffizienten und für u [mm] \in C^{(2)}(G) [/mm] sei Lu [mm] \ge [/mm] 0 in G.
Weiter seien folgende Bedingungen erfüllt:
i) [mm] x_0 \in \partial [/mm] G genügt einer Innenkugelbedingung
ii) [mm] u(x_0)\le [/mm] u(x) für alle x [mm] \in [/mm] G
iii) u ist stetig in [mm] x_0
[/mm]
Zeigen sie, dass dann gilt: [mm] D_\nu u(x_0) [/mm] < 0 ist erfüllt, wenn die Normalableitung existiert. |
Hier fehlt mir leider total der Ansatz diese Aufgabe zu lösen.
Ich sitze schon Tage an dieser Aufgabe ohne ein nennenswertes Ergebnis.
Ich bin dankbar für jeden möglichen Ansatz.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 So 19.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Ich habe hier eine mögliche, wenn auch bestimmt falsche Lösung von mir.
Mir wurde hier im Forum geraten mich mit schwierigerem Stoff zu beschäftigen, leider weiß ich nun nicht, ob das was ich hier mache auch wirklich richtig ist.
Wenn ich mir nun eine Funktion f definiere als [mm] e^{-\delta r^2}-e^{-\delta R^2}. [/mm]
Da [mm] a_{ij} [/mm] elliptisch gilt nun, dass Lv(x) = [mm] -e^{-\delta r^2}(4\delta^2 a_{ij}(x_i-y_i)(x_j-y_j)-2\delta a_{ii})-2\delta b_ie^{-\delta r^2}(x_i-y_i)
[/mm]
Das ist nun kleiner als [mm] -e^{-\delta r^2}(4\delta^2\lambda r^2-2\delta a_{ii}-cr\delta)
[/mm]
Jetzt gilt: Für hinreichen großes [mm] \delta [/mm] ist Lv(x) < 0 in [mm] G=B_R(y)/B_p(y).
[/mm]
Jetzt kommt die Stetigkeit von u, sodass mit [mm] u(x)-u(x_0) [/mm] < 0 ein [mm] \varepsilon [/mm] existiert,
sodass [mm] u(x)-u(x_0)-\varepsilon [/mm] v(x) > 0 auf [mm] \partial B_p(y)
[/mm]
Also ist [mm] L(u(x)-u(x_0)-\varepsilon v)\ge [/mm] 0 in A.
Nach dem Maximalprinzip gilt nun [mm] u(x)-u(x_0)-\varepsilon \ge [/mm] 0 in A
Damit gilt die Behauptung für die Normalableitung.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Do 23.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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