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Inklusion Exklusion Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:21 Di 05.11.2019
Autor: Jellal

Hallo zusammen,


ich soll aus der Formel fuer Inklusion und Exklusion fuer den Schnitt von n Ereignissen die entsprechende Formel fuer die Vereinigung herleiten. Das scheint mir extrem ineffizient. Ich wuesste beispielsweise, wie man den Satz selbst mit Induktion beweist, nicht aber, wie man den einen aus dem anderen ableitet.

Aufgabenstellung im Anhang (die Formeln sind etwas zu lang zum Abtippen).


Man kann natuerlich hingehen und die erste Formel nach ihrem letzten Term umstellen. Aber dann muss man immer noch die ganzen Vereinigungen, die noch vorhanden sind, auch mit der ersten Formel umschreibe. Das fuehrt aber zu sehr langen Termen mit grossem Index-Wirrwarr.

Uebersehe ich etwas, bzw. ist diese Deduktion irgendwie trivial?


vG.

Jellal


[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Inklusion Exklusion Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:07 Di 05.11.2019
Autor: HJKweseleit


> Hallo zusammen,
>  
>
> ich soll aus der Formel fuer Inklusion und Exklusion fuer
> den Schnitt von n Ereignissen die entsprechende Formel fuer
> die Vereinigung herleiten. Das scheint mir extrem
> ineffizient. Ich wuesste beispielsweise, wie man den Satz
> selbst mit Induktion beweist, nicht aber, wie man den einen
> aus dem anderen ableitet.
>  
> Aufgabenstellung im Anhang (die Formeln sind etwas zu lang
> zum Abtippen).
>  
>
> Man kann natuerlich hingehen und die erste Formel nach
> ihrem letzten Term umstellen. Aber dann muss man immer noch
> die ganzen Vereinigungen, die noch vorhanden sind, auch mit
> der ersten Formel umschreibe. Das fuehrt aber zu sehr
> langen Termen mit grossem Index-Wirrwarr.
>  
> Uebersehe ich etwas, bzw. ist diese Deduktion irgendwie
> trivial?
>  
>
> vG.
>  
> Jellal
>  
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]


Ich sehe das so:

Die erste Formel lässt sich auch umformen zu
[mm] P(E_1 \cup E_2) [/mm] = [mm] P(E_1) [/mm] + [mm] P(E_2) -P(E_1 \cap E_2) [/mm]

Sie sieht damit genau so aus wie die Ausgangsformel, nur dass die Zeichen [mm] \cup [/mm] und [mm] \cap [/mm] vertauscht sind.

Da beim Induktionsbeweis für den Durchschnitt nur immer wieder von dieser Ausgangsformel gebrauch gemacht wurde, ohne die Unterschiede von [mm] \cup [/mm] und [mm] \cap [/mm] zu benutzen, muss der Induktionsbeweis für die Vereinigung formal zum selben Ergebnis führen, nur dass dabei überall [mm] \cup [/mm] und [mm] \cap [/mm] vertauscht sind.


Bezug
                
Bezug
Inklusion Exklusion Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:36 Mi 06.11.2019
Autor: Jellal

Hallo HJKweseleit,

danke dir!!!


Ich hab glatt zwei Stunden Formeln ineinander eingesetzt und Summen und Indizes hin- und her geschoben... totale Katastrophe.
Da sieht man, wie wichtig es ist, den Wald vor lauter Baeumen nicht zu uebersehen!


vG.

Jellal

Bezug
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