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Injektivität von f(z): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:03 Sa 19.05.2012
Autor: anetteS

Aufgabe
Sei a [mm] \in [/mm] R. Finden Sie das maximale r, für welches die Funktionen
[mm] f(z)=z+az^{2} [/mm] injektiv auf [mm] B_{r}(0) [/mm] ist.

Hallo Ihr Lieben!

Ich habe Anlaufschwierigkeiten bei der obigen Aufgabe.
Ich muss zeigen, dass f injektiv ist. Im Reelen würde ich überprüfen, ob aus f(x)=f(y) x=y folgt.
Aber wie mache ich das hier und was hat das mit dem Kreis um 0 zu tun?

Vielen Dank für Eure Hilfe und viele Grüße,
Anette

        
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Injektivität von f(z): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:12 Sa 19.05.2012
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo Ihr Lieben!
>
> Ich habe Anlaufschwierigkeiten bei der obigen Aufgabe.
> Ich muss zeigen, dass f injektiv ist. Im Reelen würde ich
> überprüfen, ob aus f(x)=f(y) x=y folgt.
> Aber wie mache ich das hier und was hat das mit dem Kreis
> um 0 zu tun?

du hast die Aufgabenstellung wohl falsch verstanden. Es ist der Radius einer Kreisscheibe um M=0 herauszufinden, innerhalb der die betreffende Funktion mit obiger Zuordnungsvorschrift injektiv ist.

Über einen zielführenden Tipp denke ich noch nach. :-)


Gruß, Diophant

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Injektivität von f(z): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:08 Sa 19.05.2012
Autor: rainerS

Hallo Anette!

> Sei a [mm]\in[/mm] R. Finden Sie das maximale r, für welches die
> Funktionen
>  [mm]f(z)=z+az^{2}[/mm] injektiv auf [mm]B_{r}(0)[/mm] ist.
>  Hallo Ihr Lieben!
>  
> Ich habe Anlaufschwierigkeiten bei der obigen Aufgabe.
> Ich muss zeigen, dass f injektiv ist. Im Reelen würde ich
> überprüfen, ob aus f(x)=f(y) x=y folgt.
>  Aber wie mache ich das hier und was hat das mit dem Kreis
> um 0 zu tun?

Ich würde das ganz genauso machen, also erstmal [mm] $f(z_1)-f(z_2)=0$ [/mm] ansetzen.

Tipp: dritte binomische Formel anwenden!

Du wirst sehen, dass du Funktion nicht auf ganz [mm] $\IC$ [/mm] injektiv ist. In der Aufgabe geht es darum, einen möglichst großen Kreis um 0 zu finden, in dem die Injektivität doch gilt.

  Viele Grüße
    Rainer

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Injektivität von f(z): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:23 Sa 19.05.2012
Autor: anetteS

Hallo Rainer,

vielen Dank für deine Unterstützung!

Also ich probiere es mit f(w)-f(z)=0
w+aw²-z-az²=0
w-z+aw²-az²=0 --> meinst du an dieser Stelle die 3-te bin. Formel anwenden?
w-z+a(w+z)(w-z)=0
dann habe ich noch etwas weiter gemacht und irgendwie komme ich nicht auf w=z ...?

Ich stehe total auf dem Schlauch, sitze schon wieder seit heute Morgen um 10 an dem Übungszettel:-(...

Ich verstehe auch noch nicht, wie ich die Verbindung zum Kreis mit dem Radius r herstellen soll.

Vielen Dank nochmal und viele Grüße,
Anette.

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Injektivität von f(z): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:30 Sa 19.05.2012
Autor: rainerS

Hallo Anette!

> vielen Dank für deine Unterstützung!
>  
> Also ich probiere es mit f(w)-f(z)=0
>  w+aw²-z-az²=0
>  w-z+aw²-az²=0 --> meinst du an dieser Stelle die 3-te

> bin. Formel anwenden?
>  w-z+a(w+z)(w-z)=0
>  dann habe ich noch etwas weiter gemacht und irgendwie
> komme ich nicht auf w=z ...?

Ist doch schon fast fertig:

[mm] 0= w-z+a(w+z)(w-z) = (w-z)(1+a(w+z)) [/mm]

Es folgt also entweder $0=w-z$ oder $0=1+a(w+z)$.

>  
> Ich stehe total auf dem Schlauch, sitze schon wieder seit
> heute Morgen um 10 an dem Übungszettel:-(...
>  
> Ich verstehe auch noch nicht, wie ich die Verbindung zum
> Kreis mit dem Radius r herstellen soll.

Damit die Funktion injektiv ist, darf $0=1+a(w+z)$ nicht vorkommen.

Für den Fall $a=0$ ist die Funktion in ganz [mm] $\IC$ [/mm] injektiv. Für [mm] $a\not=0$ [/mm] darf es keine Zahlen $w,z$ im Definitionsbereich geben, für die

[mm] w+z=-\bruch{1}{a} [/mm]

gilt.

  Viele Grüße
    Rainer


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Injektivität von f(z): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:42 Sa 19.05.2012
Autor: anetteS

Ok, könntest Du bitte noch erklären, warum es für a [mm] \not= [/mm] 0 keine Zahlen w,z im Definitionsbereich geben darf, für die w+z= -1/a gilt?

Und noch eine Frage hätte ich: Ich weiß jetzt zwar, dass für a=0 die Funktion injektiv ist, aber was hat das mit dem Radius des Kreises zu tun?

Danke schön!

Viele Grüße,
Anette

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Injektivität von f(z): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:55 Sa 19.05.2012
Autor: rainerS

Hallo!

> Ok, könntest Du bitte noch erklären, warum es für a
> [mm]\not=[/mm] 0 keine Zahlen w,z im Definitionsbereich geben darf,
> für die w+z= -1/a gilt?

Du hast doch

[mm] f(z)=f(w) \gdw 0=(z-w) * (1+a(w+z)) [/mm].

Injektivität bedeutet

[mm] f(z)=f(w) \gdw z-w = 0 [/mm] .

Die zweite Aussage folgt aus der ersten nur, wenn [mm] $(1+a(w+z))\not=0$. [/mm] Wenn es also zwei Zahlen z,w gibt, für die $(1+a(w+z))=0$ gilt, dann ist f nicht injektiv. Und für [mm] $a\not=0$ [/mm] bedeutet es, dass $w+z= -1/a$.

> Und noch eine Frage hätte ich: Ich weiß jetzt zwar, dass
> für a=0 die Funktion injektiv ist, aber was hat das mit
> dem Radius des Kreises zu tun?

$a=0$ ist der triviale Fall, denn dann ist ja $f(z)=z$, dafür braucht man den ganzen Aufwand nicht.

Für [mm] $a\not=0$ [/mm] wird die Sache interessant: denn es ist immer möglich, zwei komplexe Zahlen w,z zu finden, für die $w+z= -1/a$ ist - die kannst z.B. z frei wählen und $w=-z-1/a$ setzen. Also ist f nicht auf ganz [mm] $\IC$ [/mm] injektiv.

Aber: wenn du den Definitionsbereich von f einschränkst auf den Kreis mit Radius $r$ um 0, dann sieht die Sache anders aus. Dann ist die Frage: gibt es zwei Zahlen [mm] $z,w\in\IC$ [/mm] mit $|z|<r$ und $|w|<r$, für die $w+z= -1/a$ ist?

Du kannst zwar immer noch z.B. z wählen (solange $|z|<r$ ist, damit z im Definitionsbereich liegt), aber gilt dann auch $|w|<r$ ?

Tipp:  $w+z= -1/a [mm] \implies [/mm] |w+z| = 1/|a|$ , da springt einem doch die Dreiecksungleichung ins Auge.  

Viele Grüße,
   Rainer

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