Injektivität lineare Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 So 16.07.2006 | | Autor: | Juuro |
| Aufgabe | Sei f : V [mm] \to [/mm] W eine lineare Abbildung zwischen den K-Vektorräumen V und W .
Ferner sei
{v1 , . . . , vn } eine Basis von V . Zeigen Sie: f ist genau dann injektiv, wenn
die Bilder f (v1 ), . . . , f (vn ) linear unabhängig sind. |
Bei Wikipedia steht:
Ein Monomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung , die injektiv ist. Dies trifft genau dann zu, wenn die Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix linear unabhängig sind.
Das wird so oft angesprochen aber nie bewiesen! :-| Ist das so trivial, oder wieso findet man dazu keinen Beweis?
Vielleicht möchte hier irgendjemand mir zu einem Ansatz hinführen wie das zu lösen ist.
Schonmal vielen Dank, Juuro!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:44 Mo 17.07.2006 | | Autor: | Janyary |
hi juuro,
also zuerst einmal besteht dein beweis ja aus 2 richtungen.
spontan faellt mir erstmal nur was zur rueckrichtung ein..
also sei [mm] f(v_{1}),...,f(v_{n}) [/mm] linear unabhaengig.
die basisvektoren deines bildraums sind ja genau die spalten der zur abbildung gehoerigen matrix.
wenn nun also diese spalten linear unabhaengig sind, hat die matrix vollen rang. dies wiederum bedeutet, dass nur der nullvektor auf den kern abgebildet wird.
und dann gibts son satz, dass in diesem fall die abbildung injektiv ist. oki, hoffe das hat dir zumindest ein bisschen weiter geholfen.
LG Jany
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:39 Mo 17.07.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
die Aufgabe ist wirklich nicht schwer:
also sei f mal injektiv und angenommen die Bilder der Basisvektoren seien linear abhängig, also : es existieren Koeffizienten [mm] k_i [/mm] (nicht alle gleich 0), so dass: [mm] $k_1 *f(v_1)+...+k_n *f(v_n)=0$
[/mm]
und jetzt wendest du die linearität der abbildung auf die linke Seite an...
die Rückrichtung geht sehr ähnlich...
viele Grüße
DaMenge
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