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Wie zeige ich, dass eine Funktion injektiv, surjektiv oder bijektiv ist?
Injektiv heißt doch, dass zu jedem y höchstens ein x existieren darf, also gelten muss [mm] f(x_{1})=f(x_{2}) [/mm] => [mm] x_{1}=x_{2}? [/mm]
Surjektiv heißt, dass zu jedem y mindestens ein x (Urbild) existieren muss.
Bijektiv heißt, dass zu jedem y GENAU ein Urbild x existieren darf, also surjektiv+bijektiv!
Wie zeige ich das?
Wieso ist z.B. [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] mit f(x) = [mm] x^2 [/mm] nicht surjektiv?
Das diese Funktion nicht injektiv ist, leuchter mir ein, denn wenn [mm] f(x_{1}) [/mm] = [mm] f(x_{2}) [/mm] = 9, dann ist [mm] x_{1}=-3 [/mm] und [mm] x_{2}=3. [/mm] Also existiert mehr als ein Urbild.
Aber wieso ist [mm] f(x)=x^2 [/mm] denn nicht surjektiv? Es existiert doch zu jedem Funktionswert mind. ein Urbild?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Morpheus87,
> Wie zeige ich, dass eine Funktion injektiv, surjektiv oder
> bijektiv ist?
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> Injektiv heißt doch, dass zu jedem y höchstens ein x
> existieren darf, also gelten muss [mm]f(x_{1})=f(x_{2})[/mm] =>
> [mm]x_{1}=x_{2}?[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Surjektiv heißt, dass zu jedem y mindestens ein x (Urbild)
> existieren muss.
> Bijektiv heißt, dass zu jedem y GENAU ein Urbild x
> existieren darf, also surjektiv+bijektiv!
>
> Wie zeige ich das?
Indem du genau die Definitionen, die du oben hingeschrieben hast, überprüfst
>
> Wieso ist z.B. [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] mit f(x) = [mm]x^2[/mm] nicht surjektiv?
>
> Das diese Funktion nicht injektiv ist, leuchter mir ein,
> denn wenn [mm]f(x_{1})[/mm] = [mm]f(x_{2})[/mm] = 9, dann ist [mm]x_{1}=-3[/mm] und
> [mm]x_{2}=3.[/mm] Also existiert mehr als ein Urbild.
Ganz genau!
> Aber wieso ist [mm]f(x)=x^2[/mm] denn nicht surjektiv? Es existiert
> doch zu jedem Funktionswert mind. ein Urbild?
Zu jedem Funktionswert ja, aber die Funktion geht nach deiner obigen Angage von [mm] $\IR\to\IR$, [/mm] im Zielbereich liegen also auch negative Zahlen, wie ist denn das Urbild von [mm] $-4\in\IR$?
[/mm]
Das gibt es offenbar nicht, wenn es eines [mm] $\in\IR$ [/mm] gäbe, sagen wir [mm] $x\in\IR$, [/mm] so müsste gelten [mm] $x^2=-4$, [/mm] das klappt nicht
Wenn du allerdings die Funktion in ihrem Zielbereich einschränkst und etwa sagst:
[mm] $f:\IR\to\IR^+$, [/mm] so ist $f$ hier surjektiv.
Denn geben wir uns ein beliebiges [mm] $y\in\IR^+$ [/mm] vor, so ist [mm] $\sqrt{y}=:x\in\IR$ [/mm] ein passendes Urbild ...
Kannst du die obige Funktion noch weiter einschränken, dass sie auch noch injektiv wird, also bijektiv?
Versuche das mal ...
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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