Injektivität/ Surjektivität < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:33 So 26.04.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Für Abbildungen f: X [mm] \to [/mm] Y und g: Y [mm] \to [/mm] X soll gelten: g(f(x))=x [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X. Zeigen Sie, dass f injektiv und g surjektiv ist.
Kann man für f bzw. g sogar Bijektivität nachweisen? |
Hallo,
Also es gilt offensichtlich g [mm] \circ [/mm] f : X [mm] \to [/mm] X . Mit Injektivität/Surjektivität nachweisen habe ich im Allgemeinen keine großen Problemen. Mein großes Problem ist vielmehr wie ich aus der Verknüpfung von g und f etwas auf die einzelnen Abbildungen g und f an sich schließen kann? Wäre für jede Idee von euch dankbar.
Viele Grüße
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Hallo ms,
1.) Nimm an g wäre nicht surjektiv, was heißt das? Wende dann mal g [mm] \circ [/mm] f an.
2.) Injektivität von f kannst du direkt zeigen, indem du g anwendest
[mm] f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2), [/mm] ...., [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2
[/mm]
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:51 Mo 27.04.2009 | | Autor: | ms2008de |
zu 1.) Angenommen g wäre nicht surjektiv
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] X, das kein Urbild y [mm] \in [/mm] Y hat.
Sei f(x) [mm] \in [/mm] Y bel. Wähle y = f(x) [mm] \in [/mm] Y. Dann ist g(f(x))=g(y)=x. Also gibt es mit y ein Urbild zu x.
[mm] \Rightarrow [/mm] g ist surjektiv
2.) Sei [mm] x_{1}, x_{2} \in [/mm] X mit [mm] g(f(x_{1}))= g(f(x_{2}))= x_{1}=x_{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow f(x_{1})= f(x_{2}) [/mm] , daraus folgt für mich aber lediglich, dass g injektiv is, wie komm ich jetzt darauf, dass f injektiv is? stimmt das, was ich getan hab soweit?
vielen dank schonmal
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Auf ein zweites 
> zu 1.) Angenommen g wäre nicht surjektiv
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] x [mm]\in[/mm] X, das kein Urbild y [mm]\in[/mm] Y hat.
>
> Sei f(x) [mm]\in[/mm] Y bel. Wähle y = f(x) [mm]\in[/mm] Y. Dann ist
> g(f(x))=g(y)=x. Also gibt es mit y ein Urbild zu x.
> [mm]\Rightarrow[/mm] g ist surjektiv
> 2.) Sei [mm]x_{1}, x_{2} \in[/mm] X mit [mm]g(f(x_{1}))= g(f(x_{2}))= x_{1}=x_{2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f(x_{1})= f(x_{2})[/mm] , daraus folgt für mich aber
> lediglich, dass g injektiv is, wie komm ich jetzt darauf,
> dass f injektiv is? stimmt das, was ich getan hab soweit?
> vielen dank schonmal
Also deine Surjektivität passt soweit. Dass g injektiv ist, bezweifel ich noch, aber dazu später mehr, erstmal zu f:
Das ist wirklich ein Dreizeiler, du siehst nur vielleicht den Wald vor lauter Bäumen nicht.
[mm]f(x_1) = f(x_2) \Longrightarrow g(f(x_1)) = g(f(x_2)) \gdw x_1 = x_2[/mm].
Damit ist f injektiv.
Zu deiner Injektivität zu g: Du hast nun gezeigt, dass wenn 2 Funktionswerte von g, die sich durch f darstellen lassen, gleich sind, dass dann auch die Funktionswerte von f und gleich sind.
Aber wer sagt dir, dass f surjektiv ist und auch alle y [mm] \in [/mm] Y trifft?
Kann es nicht auch y geben, die sich nicht als f(x) darstellen lassen?
Kannst du da die Injektivität zeigen?
MfG,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:16 Mo 27.04.2009 | | Autor: | ms2008de |
Ich verstehe glaub, was du meinst. Aber so wie ich die Sache sehe, lässt sich nich beweisen, dass f surjektiv ist. Wenn f surjektiv wäre, wäre wohl auch g bijektiv. So könnte es auch sein, dass f lediglich injektiv und g lediglich surjektiv ist. da werd ich mir wohl noch ein Gegenbeispiel für Bijektivität von f und g überlegen.
Vielen Dank auf jeden Fall für deine Hilfe, hast mir sehr geholfen
MfG ms2008de
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>da werd ich mir wohl noch ein
> Gegenbeispiel für Bijektivität von f und g überlegen.
Hallo,
genau das solltest Du tun.
Gezeigt ist bisher: wenn die Funktion [mm] g\circ [/mm] f die genannte Eigenschaft hat, dann kann es nicht anders sein, als daß f injektiv ist und g surjektiv.
Das schließt ja gar nicht die Bijektivität einer oder der beiden Funktionen aus, diese folgt jedoch nicht zwangsläufig. Daß die Bijektivität folgt, widerlegst Du, indem Du ein Beispiel vorzeigst, in welchem g nur surjektiv und f nur injektiv ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Mo 27.04.2009 | | Autor: | ms2008de |
Nur noch eine letzte abschließende Frage: Es klingt für mich irgendwie komisch wenn f nicht surjektiv is, also f(X) [mm] \not= [/mm] Y, aber ich die Surjektivität von g zeigen will, indem ich sage: Sei f(x) [mm] \in [/mm] Y bel., da f dann ja gar nich alle Funktionswerte g(y) erfasst. Kann ich das tatsächlich so stehen lassen, und wenn ja, wieso?
Vielen Dank nochmal und viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:34 Di 28.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Nur noch eine letzte abschließende Frage: Es klingt für
> mich irgendwie komisch wenn f nicht surjektiv is, also f(X)
> [mm]\not=[/mm] Y, aber ich die Surjektivität von g zeigen will,
> indem ich sage: Sei f(x) [mm]\in[/mm] Y bel.,
Wo sagst du das denn? Und warum willst du ein zufaelliges Elemente aus $Y$ nehmen? Du willst doch zeigen, dass alle Elemente aus $X$ getroffen werden.
Also nimmst du dir ein $x [mm] \in [/mm] X$ und zeigst, dass es ein $y [mm] \in [/mm] Y$ mit $g(y) = x$ gibt.
Und ein solches $y$ ist halt $f(x)$.
LG Felix
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