Injektivität, Surjektivität < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:47 Di 07.11.2006 | | Autor: | xsara |
| Aufgabe | Man entscheide, ob die folgenden Funktionen injektiv / surjektiv / bijektiv sind (Beweis oder Gegenbeispiel). Im Falle der Bijektivität gebe man außerdem die Umkehrfunktion an.
(1) f: [mm] \IQ \to \IQ, [/mm] f(x):=ax+b mit a [mm] \in \IQ [/mm] \ {0} und b [mm] \in \IQ.
[/mm]
(2) f: [mm] \IR \to \IR, f(x):=x|x|=\begin{cases} x^2, & \mbox{falls } x \ge 0 \\ -x^2, & \mbox{falls } x<0 \end{cases}
[/mm]
(3) f: [mm] \IQ \to \IZ, f(\bruch{n}{m}):=n+m [/mm] für [mm] \bruch{n}{m} \in \IQ [/mm] mit n [mm] \in \IZ [/mm] und m [mm] \in \IN, [/mm] n,m teilerfremd. |
Wie muss ein Beweis aussehen?
Laut Definition muss ich für Injektivität einer Abbildung f: A [mm] \to [/mm] B zeigen, dass [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] A, x [mm] \not= [/mm] y [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \not= [/mm] f(y), und für Surjektivität, dass [mm] \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] B [mm] \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] A: f(a)=b.
Zu (1) habe ich mir überlegt, dass für [mm] x_1, x_2 \in \IQ [/mm] mit [mm] x_1 \not= x_2 \Rightarrow f(x_1) \not= f(x_2), [/mm] also [mm] ax_1+b \not= ax_2+b. [/mm] Ist damit die Injektivität schon gezeigt? Wie müsste ich diesen Beweis "ordnungsgemäß" aufschreiben?
Weiter habe ich mir überlegt, dass für Surjektivität gelten muss, dass y=f(x). Langt es zu sagen, dass y [mm] \in \IQ [/mm] und definierey:=f(x) [mm] \Rightarrow [/mm] y=ax+b [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IQ?
[/mm]
Die Umkehrfunktion müsste doch [mm] f^{-1} (y)=\bruch{x-b}{a} [/mm] heißen.
Zu (2): auch diese Funktion ist bijektiv. Kann man die Umkehrfunktion wie folgt angeben?
[mm] f^{-1} (y)=\wurzel{x}=\begin{cases} +\wurzel{x}, & \mbox{für } x \ge 0 \\ -\wurzel{x}, & \mbox{für } x < 0 \end{cases}
[/mm]
Zu (3) habe ich leider keine Idee.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Di 07.11.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin xsara!
Spilen wir das Ganze mal an Teilaufgabe (1) durch:
Für den Beweis der Injektivität solltest du dir die alternative Definition der Injektivität zu nutze machen.
[mm] \underline{injektiv}:
[/mm]
$f$ ist injektiv [mm] $\gdw$ [/mm] aus [mm] $f(x_1)=f(x_2)$ $x_1=x_2$ [/mm] folgt
und das ist einfacher zu zeigen.
[mm] $f(x_1)=f(x_2)$ $\gdw$ $ax_1+b=ax_2+b$ $\gdw$ $x_1=x_2$
[/mm]
also ist $f$ injektiv.
[mm] \underline{surjektiv}
[/mm]
stellen wir dazu $y=ax+b$ nach $x$ um also [mm] $x=\frac{y-b}{a}$ [/mm] dann gilt:
[mm] $f(x)=a*\frac{y-b}{a}+b=y$ [/mm] dies ist jedoch nur eine Nebenrechnung zum eigentlichen Beweis - der geht dann so:
Sei [mm] $y\in\IQ$ [/mm] beliebig. Setze [mm] $x:=\frac{y-b}{a}$. [/mm] Dann liegt $x$ in [mm] \IQ [/mm] und es gilt:
[mm] $$f(x)=a*\frac{y-b}{a}+b=y$$
[/mm]
Zu jedem [mm] $y\in\IQ$ [/mm] gibt es also ein [mm] $x\in\IQ$ [/mm] mit $f(x)=y$, und somit ist $f$ surjektiv.
[mm] \underline{bijektiv}
[/mm]
$f$ ist bijektiv, da $f$ injektiv und surjektiv ist.
[mm] \underline{Umkehrfunktion}
[/mm]
[mm] f^{-1}(x)=\frac{x-b}{a}
[/mm]
zu (3) f ist auf gar keinen Fall injektiv da:
$$ [mm] f(\frac{3}{2})=f(\frac{2}{3}) \text{ aber }\frac{3}{2}\not=\frac{2}{3}$$
[/mm]
MfG
Sashman
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:29 Sa 11.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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