Injektivitaet & Surjektivitaet < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 Mi 09.11.2005 | | Autor: | SusiQ |
Brauche Hilfe...den ersten teil dieser aufgabe habe ich bereits, aber dann siehts mau aus, ich komme einfach auf keinen ansatz...
Aufgabe: seien f:A [mm] \to [/mm] B, g:B [mm] \to [/mm] C Abbildungen, ich soll folgende aussagen beweisen oder widerlegen:
(a) wenn g [mm] \circ [/mm] f injektiv, dann auch g injektiv
(b) wenn g [mm] \circ [/mm] f injektiv, dann auch f injektiv
(c) wenn g [mm] \circ [/mm] f surjektiv, dann auch f surjektiv (fuer dann auch g surjektiv hab ich bereits bewiesen)
mir fehlen ansaetze! Danke fuer Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:30 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> Aufgabe: seien f:A [mm]\to[/mm] B, g:B [mm]\to[/mm] C Abbildungen, ich soll
> folgende aussagen beweisen oder widerlegen:
> (a) wenn g [mm]\circ[/mm] f injektiv, dann auch g injektiv
Setze mal [mm] $A=\IR^+$, [/mm] $B=C = [mm] \IR$, $f(x)=\sqrt{x}$, $g(x)=x^2$.
[/mm]
> (b) wenn g [mm]\circ[/mm] f injektiv, dann auch f injektiv
Wäre $f$ nicht injektiv, dann gäbe es [mm] $x_1,x_2 \in [/mm] A$ mit [mm] $x_1 \ne x_2$ [/mm] und [mm] $f(x_1)=f(x_2)$. [/mm] Dann wäre aber auch $(g [mm] \circ f)(x_1) [/mm] = [mm] g(f(x_1)) [/mm] = [mm] g(f(x_2)) [/mm] = (g [mm] \circ f)(x_2)$, [/mm] im Widerspruch zur Injektivität von $g [mm] \circ [/mm] f$.
> (c) wenn g [mm]\circ[/mm] f surjektiv, dann auch f surjektiv (fuer
> dann auch g surjektiv hab ich bereits bewiesen)
Das gilt natürlich nicht. Wähle [mm] $A=\IR^+$, $B=\IR$ [/mm] und [mm] $C=\IR^+$, $g(x)=x^2$ [/mm] und [mm] $f(x)=\sqrt{x}$. [/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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