Injektivität < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Mi 25.09.2013 | | Autor: | Jochen90 |
| Aufgabe | | Man zeige eine injektive Abbildung [mm] \partial [/mm] ) [mm] M\to [/mm] M auf sich die [mm] \partial [/mm] ² = [mm] \partial [/mm] erfüllt, ist die Identität. |
f(x)=f(y) [mm] \to [/mm] x=y oder alles mit ungleich
mir ist unklar wie ich dieses zeigen könnte
Wäre dankbar wenn jemand mir einen guten Tipp oder Rat geben könnte, danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:04 Mi 25.09.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Nimm dir mal ein [mm] $x\in [/mm] M$ beliebig und nimm dann $ [mm] \partial (x)\not= [/mm] x $ an. Daraus solltest du einen Widerspruch erhalten, indem du $ [mm] \partial$ [/mm] auf die Ungleichung anwendest.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Mi 25.09.2013 | | Autor: | Jochen90 |
ex existiert ein x [mm] \in [/mm] M [mm] \partial(x)\not=x [/mm]
[mm] \partial( \partial(x)) \not= \partial(x)
[/mm]
ist so gezeigt?
ich habe probleme hier eine verbindung mit der injektivität zu sehen :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 Mi 25.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ex existiert ein x [mm]\in[/mm] M [mm]\partial(x)\not=x[/mm]
>
> [mm]\partial( \partial(x)) \not= \partial(x)[/mm]
>
>
> ist so gezeigt?
na, aus dem Wirrwarr erkennt man eher, dass Dir gar nicht klar ist, was Du
machen sollst.
Machen wir es schrittweise: Zunächst ist [mm] $\partial^2=\partial$ [/mm] vorausgesetzt, das bedeutet
Für jedes $m [mm] \in [/mm] M$ gilt:
[mm] $\underbrace{(\partial \circ \partial)}_{=\partial^2}(m)=\partial(m).$
[/mm]
Angenommen, es wäre nun [mm] $\partial \not=\text{id}_M\,.$ [/mm] Dann gibt es ein $x [mm] \in [/mm] M$ mit
[mm] $(\*)$ $\partial(x) \,\not=\,\underbrace{\text{id}_M(x)}_{=\,x}.$
[/mm]
Nun setzen wir [mm] $m_1:=\partial(x) \in [/mm] M$ und [mm] $m_2:=x \in M\,.$ [/mm] Dann besagt [mm] $(\*)$ [/mm] gerade
[mm] $(\*\*)$ $m_1 \not= m_2\,.$
[/mm]
Nach Voraussetzung ist [mm] $\partial$ [/mm] injektiv, so dass aus [mm] $(\*\*)$ [/mm] dann auch folgt
(I) [mm] $\partial(m_1) \,\not=\, \partial(m_2)\,.$
[/mm]
Auf der rechten Seite von (I) steht aber einfach nur [mm] $\partial(x)\,,$ [/mm] nach
Definition von [mm] $m_2.$ [/mm] Auf der linken Seite steht
[mm] $\partial(\partial(x)),$
[/mm]
und das ist wegen [mm] $\partial^2=\partial$ [/mm] gerade nichts anderes als...?
(Wenn Du das korrekt erkennst, gelangst Du etwa zu dem Widerspruch
[mm] $m_2\,\not=\,m_2$...)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:22 Fr 27.09.2013 | | Autor: | Jochen90 |
Vielen Dank Marcel, für deine Hilfe
Ich versuche es alles mal nachzuvollziehen
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