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| Aufgabe | Sei G [mm] \subset \IR^n [/mm] ein konvexes Gebiet und [mm] f=(f_1,...,f_n) [/mm] : G [mm] \to \IR^n [/mm] stetig differenzierbar.
Ist [mm] det\pmat{ gradf_1(x_1) \\ . \\ . \\ . \\ gradf_n(x_n) } \not= [/mm] 0 für jede Wahl von Punkten [mm] x_1,...,x_n \in [/mm] G, so ist f injektiv. |
Ich habe es mir erstmal für den Fall n=1 angesehen, und da ist es klar.
Bei dieser Aufgabe fehlt mir ein Ansatz, ich weiß nicht genau, womit ich anfangen soll.
Was ich nicht verstehe, was [mm] \pmat{ gradf_1(x_1) \\ . \\ . \\ . \\ gradf_n(x_n) } [/mm] für eine Matrix ist? Die Gradienten werden ja alle in unterschiedlichen Punkten genommen, was mich verwirrt. Sonst hätte es ja die Form einer Jacobi-Matrix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:44 Mi 10.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei G [mm]\subset \IR^n[/mm] ein konvexes Gebiet und [mm]f=(f_1,...,f_n)[/mm]
> : G [mm]\to \IR^n[/mm] stetig differenzierbar.
> Ist [mm]det\pmat{ gradf_1(x_1) \\ . \\ . \\ . \\ gradf_n(x_n) } \not=[/mm]
> 0 für jede Wahl von Punkten [mm]x_1,...,x_n \in[/mm] G, so ist f
> injektiv.
>
> Ich habe es mir erstmal für den Fall n=1 angesehen, und da
> ist es klar.
Ja.
> Bei dieser Aufgabe fehlt mir ein Ansatz, ich weiß nicht
> genau, womit ich anfangen soll.
> Was ich nicht verstehe, was [mm]\pmat{ gradf_1(x_1) \\ . \\ . \\ . \\ gradf_n(x_n) }[/mm]
> für eine Matrix ist? Die Gradienten werden ja alle in
> unterschiedlichen Punkten genommen, was mich verwirrt.
> Sonst hätte es ja die Form einer Jacobi-Matrix
Wenn die Bedingung mit der Determinante nur fuer [mm] $x_1 [/mm] = [mm] \dots [/mm] = [mm] x_n$ [/mm] gelten wuerd (also fuer die Jacobimatrix), dann waer die Funktion nur lokal injektiv und nicht umbedingt global injektiv. (Beispiel: die Exponentialfunktion [mm] $\exp [/mm] : [mm] \IC \to \IC$ [/mm] mit [mm] $\IC$ [/mm] als [mm] $\IR^2$ [/mm] aufgefasst.)
Dass die Aussage fuer beliebige [mm] $x_1, \dots, \x_n$ [/mm] gilt ist also wichtig. Wie man die jetzt genau nutzen kann weiss ich spontan nicht, aber beachte dass das Gebiet konvex ist, also die Verbindungsgerade zwischen zwei Punkten drinnen liegt. Damit kann man z.B. die beiden Funktionswerte an den Enden durch ein Integral ueber die Verbindungsgerade beschreiben. Vielleicht kannst du damit etwas anfangen?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 Mi 10.06.2009 | | Autor: | Heureka89 |
Hi,
danke für den Tipp. Werde es gleich mal probieren. Ich habe noch daran gedacht, einen Widerspruchsbeweis zu machen, hat aber bisher auch nicht viel gebracht.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:51 Do 11.06.2009 | | Autor: | pelzig |
Felix hat ja schon angedeutet, dass die Konvexität von G ja irgendwie nach Mittelwertsätzen schreit - ich sehe das auch so:
Angenommen f(x)=f(x+h) für gewisse [mm] $x,x+h\in G\subset \IR^n$. [/mm] Dann gilt nach besagtem Mittelwertsatz [mm] $$\vec{0}=f(x+h)-f(x)=\int_0^1 [/mm] Df(x+th)h\ [mm] dt=\sum_{i=1}^n e_i\int_0^1\nabla f_i(x+th)\cdot [/mm] h\ dt$$ Insbesondere gilt also [mm]\int_0^1\nabla f_i(x+th)\cdot h\ dt=0[/mm] für alle $i=1,...,n$. Wegen der Stetigkeit des Integranden gibt es also für alle i ein [mm] $\theta_i\in[0,1]$ [/mm] mit [mm]\nabla f_i(x+\theta_ih)\cdot h=0[/mm] und dann ist [mm]y_i:=x+\theta_ih\in G[/mm] wegen der Konvexität. Nun gilt also [mm] $$A\cdot h:=\vektor{\nabla f_1(y_1)\\...\\\nabla f_n(y_n)}\cdot h=\vec{0}$$ [/mm] Also muss h=0 gewesen sein, denn nach Vorraussetzung ist [mm] $\det A\ne0$, [/mm] also der Kern von A trivial. Damit haben wir gezeigt: [mm]f(x)=f(x+h)[/mm] für [mm] $x,x+h\in G\Rightarrow [/mm] x=x+h$, also ist f auf G injektiv.
Gruß, Robert
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:02 Mo 15.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Seien a, b [mm] \in [/mm] G und f(a) = f(b). Sei j [mm] \in [/mm] { 1, ..., n }: Dann:
[mm] f_j(a) [/mm] = [mm] f_j(b).
[/mm]
Aus dem Mittelwertsatz folgt: es gibt ein [mm] x_j [/mm] auf der Verbindungsstrecke von a und b, insbes. also [mm] x_j \in [/mm] G, mit
(*) [mm] $gradf_j(x_j)*(b-a) [/mm] = 0$
Sei A die Matrix mit den Zeilen [mm] gradf_1(x_1), [/mm] ...., [mm] gradf_n(x_n): [/mm] Aus (*) folgt dann:
$A*(b-a) = 0$
Da nach Vor: det(A) [mm] \not= [/mm] 0 ist, folgt b= a.
FRED
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