Injektive,surjektive Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
wir haben heute in der Vorlesung das Thema Abbildungen behandelt und die Begriffe injektiv und surjektiv. An sich habe ich das Thema und die beiden Begriffe verstanden. Der Professor hat uns zur Übung eine Aufgabe auf den Weg gegeben. Wer kann mir dabei helfen?
a) Zeige: f ist injektiv genau dann, wenn es eine Abbildung e: B [mm] \to [/mm] A gibt, die folgender Eigenschaft genügt: Für alle x [mm] \in [/mm] A gilt e(f(x)) = x
b) Zeige: f ist surjektiv genau dann, wenn es eine Abbildung d: B [mm] \to [/mm] A gibt, die folgender Eigenschaft genügt: Für alle y [mm] \in [/mm] B gilt f(d(y)) = y
Zu a) ist mir noch kein konkreter Lösungsweg eingefallen.
Zu b) habe ich mir folgendes gedacht:
Man nehme an, dass f(d(y))=y surjektiv sein soll, da ja f surjektiv sein soll. Dann muss man zeigen, dass f surjektiv ist. Folgt aus diesem Beweis, dass f(d(y))=y surjektiv ist, war die Annahme richtig. Oder?
Mit freundlichen Grüßen
Henning
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:23 Di 19.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Henning!
Die Aufgabe habe ich letztens für einen unseren Tutoren, Hanno (Schüler der Stufe $12$) als Übungsaufgabe gestellt. Du findest hier seine Lösungen (lies bitte den gesamten Thread).
Wie ich gerade sehe, hat Hanno aber bei der a) nur die eine Richtung gezeigt. Ist mir gar nicht aufgefallen... Naja, die andere Richtung ist aber auch trivial:
Aus $f(x)=f(y)$ folgt mit deiner Notation:
$x = e(f(x)) = e(f(y)) = y$,
also die Injektivität.
Jetzt zu deinem Ansatz:
> Zu b) habe ich mir folgendes gedacht:
>
> Man nehme an, dass f(d(y))=y surjektiv sein soll, da ja f
Wie kann eine Gleichung surjektiv sein?
> surjektiv sein soll. Dann muss man zeigen, dass f surjektiv
> ist. Folgt aus diesem Beweis, dass f(d(y))=y surjektiv ist,
> war die Annahme richtig. Oder?
Das macht keinen Sinn, tut mir leid. Du musst dir dringend die Begriffe noch einmal anschauen. Ich denke du hast sie noch nicht verstanden.
Liebe Grüße
Stefan
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