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| Aufgabe | Betrachte den [mm] $\IC$-Vektorraum $\IC^4$, [/mm] die lineare Abbildung
$ f: [mm] \IC^4 \to \IC^4, \quad (z_1,z_2,z_3,z_4) \mapsto (2z_1+z_4,z_3,z_2,(1+i)z_4)$
[/mm]
und die Basis
[mm] [quote]$\mathfrak{B} [/mm] = [mm] \left ( \begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\i\\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\0\\i^2\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\0\\0\\i^3\end{bmatrix}\right [/mm] )$.[/quote]
(a) Berechne [mm] $[f]^{\mathfrak{B}}_{\mathfrak{B}}$.
[/mm]
(b) Überprüfe, ob $f$ eine der folgenden Eingeschaften besitzt:
[mm] [quote]$\quad \quad \bullet$ [/mm] Injektivität
[mm] $\quad \quad \bullet$ [/mm] Surjektivität
[mm] $\quad \quad \bullet$ [/mm] Bijektivität[/quote] |
Entschuldigt die vielen Fragen in letzter Zeit. Aber wie gesagt, am Montag ist Klausur und es gibt noch ein paar Unstimmigkeiten.
Bei der Aufgabe liegt mein Problem speziell bei (b).
Doch vorerst (a).
a) Seien [mm] $b_i \in \IC^4$ [/mm] mit $i = 1,2,3,4$ die Vektoren der Basis [mm] $\mathfrak{B}$. [/mm] Dann gilt:
[mm] [quote]$f\left ( \begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix} \right [/mm] ) = [mm] \begin{bmatrix}2\\0\\0\\0\end{bmatrix} [/mm] = 2 [mm] \cdot b_1 [/mm] + 0 [mm] \cdot b_2 [/mm] + 0 [mm] \cdot b_3 [/mm] + 0 [mm] \cdot b_4$
[/mm]
[mm] $f\left ( \begin{bmatrix}0\\i\\0\\0\end{bmatrix} \right [/mm] ) = [mm] \begin{bmatrix}0\\0\\i\\0\end{bmatrix} [/mm] = 0 [mm] \cdot b_1 [/mm] + 0 [mm] \cdot b_2 [/mm] + (-i) [mm] \cdot b_3 [/mm] + 0 [mm] \cdot b_4$
[/mm]
[mm] $f\left ( \begin{bmatrix}0\\0\\i^2\\0\end{bmatrix} \right [/mm] ) = [mm] \begin{bmatrix}0\\i^2\\0\\0\end{bmatrix} [/mm] = 0 [mm] \cdot b_1 [/mm] + i [mm] \cdot b_2 [/mm] + 0 [mm] \cdot b_3 [/mm] + 0 [mm] \cdot b_4$
[/mm]
[mm] $f\left ( \begin{bmatrix}0\\0\\0\\i^3\end{bmatrix} \right [/mm] ) = [mm] \begin{bmatrix}i^3\\0\\0\\(1+i)i^3\end{bmatrix} [/mm] = [mm] i^3 \cdot b_1 [/mm] + 0 [mm] \cdot b_2 [/mm] + 0 [mm] \cdot b_3 [/mm] + (1+i) [mm] \cdot b_4$[/quote]
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [f]^{\mathfrak{B}}_{\mathfrak{B}} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix}2&0&0&i^3\\0&0&i&0\\0&-i&0&0\\0&0&0&1+i\end{bmatrix}$
[/mm]
Also eigentlich war das keine Hürde.
Mein Problem liegt immer noch in den Begriffen In-/Sur-/Bijektivität. Naja versuchen wir mal ganz einfach ran zu gehen.
Wir untersuchen zu Anfang f auf Injektivität. Das bedeutet zum einen [mm] $Kern([f]^{\mathfrak{B}}_{\mathfrak{B}}) [/mm] = [mm] \{0\}$ [/mm] oder $f(a) = f(b) [mm] \Rightarrow [/mm] a = b$. Da bei Injektivität ja jedes Element aus dem Bildraum höhstens einmal "getroffen" werden darf.
Ich bin kein großer Freund vom Kern und hab nicht auf Anhieb gesehen wie ich das [mm] i^3 [/mm] aus der ersten Zeile bekomme. Und für die Übung dachte ich mir, probierst du einfach mal den 2. Weg, auch wenns mehr Schreibarbeit kostet.
Also, wir zeigen $f(a) = f(b) [mm] \Rightarrow [/mm] a = b$
Seien $p,q [mm] \in \IC^4$ [/mm] mit $p = [mm] \begin{bmatrix}a\\b\\c\\d\end{bmatrix}$ [/mm] und $q = [mm] \begin{bmatrix}e\\f\\g\\h\end{bmatrix}$ [/mm] und weiter $a,b,c,d,e,f,g,h [mm] \in \IC$ [/mm] dann gilt:
$f(p) = f(q) [mm] \Leftrightarrow \begin{bmatrix}2a+d\\c\\b\\(1+i)d\end{bmatrix} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix}2e+h\\g\\f\\(1+i)h\end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{matrix}2a+d = 2e+h\\c = g\\b=f\\(1+i)d=(1+i)h\end{matrix} \Leftrightarrow \begin{matrix}2a = 2e\\c=g\\b=f\\d=h\end{matrix} \Leftrightarrow [/mm] p = q [mm] \quad \Rightarrow [/mm] $ f ist Injektiv $ [mm] \Leftrightarrow [/mm] Kern(f) = [mm] \{0\}$
[/mm]
Mit dem Dimensionssatz gilt: [mm] $dim\IC^4 [/mm] = dim(Kern(f)) + dim(Bild(f))$
Weiter ist $dim(Kern(f)) = [mm] 0\quad \Rightarrow \quad dim\IC^4=dim(Bild(f))$
[/mm]
Also deckt das Bild von f den ganzen Bildraum des [mm] $\IC^4$ [/mm] ab. Ergo ist f auch Surfjektiv.
Das bedeutet, f ist Bijektiv.
Soweit fertig. Stimmt das jetzt aber auch alles?
Vielen dank für die Hilfe und ein schönen Samstagabend wünsche ich.
André
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Hallo André,
> Betrachte den [mm]\IC[/mm]-Vektorraum [mm]\IC^4[/mm], die lineare Abbildung
> [mm]f: \IC^4 \to \IC^4, \quad (z_1,z_2,z_3,z_4) \mapsto (2z_1+z_4,z_3,z_2,(1+i)z_4)[/mm]
>
> und die Basis
> [mm]\mathfrak{B} = \left ( \begin{bmatrix}1\\
0\\
0\\
0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\
i\\
0\\
0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\
0\\
i^2\\
0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\
0\\
0\\
i^3\end{bmatrix}\right )[/mm].
>
> (a) Berechne [mm][f]^{\mathfrak{B}}_{\mathfrak{B}}[/mm].
> (b) Überprüfe, ob [mm]f[/mm] eine der folgenden Eingeschaften
> besitzt:
> [mm]\quad \quad \bullet[/mm] Injektivität
> [mm]\quad \quad \bullet[/mm] Surjektivität
> [mm]\quad \quad \bullet[/mm] Bijektivität
> Entschuldigt die vielen Fragen in letzter Zeit. Aber wie
> gesagt, am Montag ist Klausur und es gibt noch ein paar
> Unstimmigkeiten.
> Bei der Aufgabe liegt mein Problem speziell bei (b).
> Doch vorerst (a).
>
> a) Seien [mm]b_i \in \IC^4[/mm] mit [mm]i = 1,2,3,4[/mm] die Vektoren der
> Basis [mm]\mathfrak{B}[/mm]. Dann gilt:
> [mm]f\left ( \begin{bmatrix}1\\
0\\
0\\
0\end{bmatrix} \right ) = \begin{bmatrix}2\\
0\\
0\\
0\end{bmatrix} = 2 \cdot b_1 + 0 \cdot b_2 + 0 \cdot b_3 + 0 \cdot b_4[/mm]
>
> [mm]f\left ( \begin{bmatrix}0\\
i\\
0\\
0\end{bmatrix} \right ) = \begin{bmatrix}0\\
0\\
i\\
0\end{bmatrix} = 0 \cdot b_1 + 0 \cdot b_2 + (-i) \cdot b_3 + 0 \cdot b_4[/mm]
>
> [mm]f\left ( \begin{bmatrix}0\\
0\\
i^2\\
0\end{bmatrix} \right ) = \begin{bmatrix}0\\
i^2\\
0\\
0\end{bmatrix} = 0 \cdot b_1 + i \cdot b_2 + 0 \cdot b_3 + 0 \cdot b_4[/mm]
>
> [mm]f\left ( \begin{bmatrix}0\\
0\\
0\\
i^3\end{bmatrix} \right ) = \begin{bmatrix}i^3\\
0\\
0\\
(1+i)i^3\end{bmatrix} = i^3 \cdot b_1 + 0 \cdot b_2 + 0 \cdot b_3 + (1+i) \cdot b_4[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow [f]^{\mathfrak{B}}_{\mathfrak{B}} = \begin{bmatrix}2&0&0&i^3\\
0&0&i&0\\
0&-i&0&0\\
0&0&0&1+i\end{bmatrix}[/mm]
Ok, das sieht gut aus [mm] $(i^3=-i)$, [/mm] aber hier "sieht" man doch, dass die Matrix vollen Rang hat...
Damit bist du doch schon fertig ...
>
> Also eigentlich war das keine Hürde.
> Mein Problem liegt immer noch in den Begriffen
> In-/Sur-/Bijektivität. Naja versuchen wir mal ganz einfach
> ran zu gehen.
> Wir untersuchen zu Anfang f auf Injektivität. Das
> bedeutet zum einen [mm]Kern([f]^{\mathfrak{B}}_{\mathfrak{B}}) = \{0\}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> oder [mm]f(a) = f(b) \Rightarrow a = b[/mm]. Da bei Injektivität ja
> jedes Element aus dem Bildraum höhstens einmal "getroffen"
> werden darf.
>
> Ich bin kein großer Freund vom Kern und hab nicht auf
> Anhieb gesehen wie ich das [mm]i^3[/mm] aus der ersten Zeile
> bekomme. Und für die Übung dachte ich mir, probierst du
> einfach mal den 2. Weg, auch wenns mehr Schreibarbeit
> kostet.
> Also, wir zeigen [mm]f(a) = f(b) \Rightarrow a = b[/mm]
> Seien [mm]p,q \in \IC^4[/mm]
> mit [mm]p = \begin{bmatrix}a\\
b\\
c\\
d\end{bmatrix}[/mm] und [mm]q = \begin{bmatrix}e\\
f\\
g\\
h\end{bmatrix}[/mm]
> und weiter [mm]a,b,c,d,e,f,g,h \in \IC[/mm] dann gilt:
> [mm]f(p) = f(q) \Leftrightarrow \begin{bmatrix}2a+d\\
c\\
b\\
(1+i)d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2e+h\\
g\\
f\\
(1+i)h\end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{matrix}2a+d = 2e+h\\
c = g\\
b=f\\
(1+i)d=(1+i)h\end{matrix} \Leftrightarrow \begin{matrix}2a = 2e\\
c=g\\
b=f\\
d=h\end{matrix} \Leftrightarrow p = q \quad \Rightarrow[/mm]
> f ist Injektiv [mm]\Leftrightarrow Kern(f) = \{0\}[/mm]
>
> Mit dem Dimensionssatz gilt: [mm]dim\IC^4 = dim(Kern(f)) + dim(Bild(f))[/mm]
>
> Weiter ist [mm]dim(Kern(f)) = 0\quad \Rightarrow \quad dim\IC^4=dim(Bild(f))[/mm]
>
> Also deckt das Bild von f den ganzen Bildraum des [mm]\IC^4[/mm] ab.
> Ergo ist f auch Surfjektiv.
>
> Das bedeutet, f ist Bijektiv.
>
> Soweit fertig. Stimmt das jetzt aber auch alles?
Ja, bestens, wenn auch etwas lang, bedenke, dass im endlich-dimensionalen gilt:
$f \ [mm] \text{injektiv} [/mm] \ [mm] \gdw [/mm] \ f \ [mm] \text{surjektiv} [/mm] \ [mm] \gdw [/mm] \ f \ [mm] \text{bijektiv}$
[/mm]
>
> Vielen dank für die Hilfe und ein schönen Samstagabend
> wünsche ich.
> André
Gruß
schachuzipus
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> Ok, das sieht gut aus , aber hier "sieht" man doch, dass die Matrix vollen Rang hat...
> Damit bist du doch schon fertig ...
Das hab ich ja gar nicht gesehen. Oh man.
Kurz für mich selbst:
Da [mm] $rang([f]^{\mathfrak{B}}_{\mathfrak{B}}) [/mm] = [mm] dim(Bild([f]^{\mathfrak{B}}_{\mathfrak{B}})$ [/mm] und sie vollen Rang besitzt, folgt aus dem Dimensionssatz
$ [mm] dim\IC^4 [/mm] = dim(Kern(f)) + dim(Bild(f)) $
[mm] $\Rightarrow dim(Kern([f]^{\mathfrak{B}}_{\mathfrak{B}}) [/mm] = 0$ also Injektivität
und $ [mm] dim\IC^4 [/mm] = dim(Bild(f)) $ also Surjektivität.
Dementsprechend Bijektivität.
Das wär um einiges kürzer gewesen, stimmt.
Aber doch noch eine Frage:
> $ f \ [mm] \text{injektiv} [/mm] \ [mm] \gdw [/mm] \ f \ [mm] \text{surjektiv} [/mm] \ [mm] \gdw [/mm] \ f \ [mm] \text{bijektiv} [/mm] $
Zuerst habe ich auch so gedacht. Aber nach unserem letzten Tutorium dachte ich, hier würde dies nicht gelten. Denn wir hatten eine Aufgabe im Tutorium wo ich dachte dies gilt, dem war aber nicht so.
Ich versuche das mal kurz zu skizzieren.
Sei f eine lineare Abbildung von V nach W mit
$f : V [mm] \to [/mm] W, [mm] \quad \begin{bmatrix}a&0&b\\0&0&c\end{bmatrix} \mapsto [/mm] (b-c)t + (a+b)$
Seien weiter [mm] B_v [/mm] und [mm] B_w [/mm] Basen gegeben durch:
[mm] $B_v [/mm] = [mm] \left ( \begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1&0&1\\0&0&0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1&0&1\\0&0&1\end{bmatrix} \right [/mm] )$ und [mm] $B_w [/mm] = (1,t)$
Jedenfalls sollten wir erst die Übergangsmatrix von [mm] B_v [/mm] zu [mm] B_w [/mm] berechnen und dann sagen ob f injektiv, surjektiv, bijektiv ist.
Ich dachte hier gilt die Äquivalenz. Tat sie aber nicht. f ist nicht injektiv, aber surjektiv und damit nicht bijektiv.
Warum ist das ein KEIN endlich-dimensionaler Raum?
Danke im Voraus.
André
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Hallo nochmal,
es gilt für [mm] $f:V\to [/mm] V$ mit [mm] $\operatorname{dim}(V)<\infty$ [/mm] und $f$ linear die obige Äquivalenz, das hätte ich dazu schreiben sollen, dachte aber, es sei klar.
Du hast ja ne Abb. von [mm] $\IC^4\to\IC^4$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Ja aber dann müsste bei der zweiten Aufgabe doch auch die Äuqivalenz gelten da dimV < [mm] \infty
[/mm]
Wie wir aber im Tutorium herausgefunden haben ist f surjektiv, aber nicht injektiv.
Verstehst du wo mein Problem liegt?
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Hallo,
> Ja aber dann müsste bei der zweiten Aufgabe doch auch die
> Äuqivalenz gelten da dimV < [mm]\infty[/mm]
>
> Wie wir aber im Tutorium herausgefunden haben ist f
> surjektiv, aber nicht injektiv.
>
> Verstehst du wo mein Problem liegt?
In deinem zweiten Bsp. sind Ausgangs- und Zielraum verschieden (und verschieden-dimensional)
Die Äquivalenz gilt für lineares [mm] $f:V\to [/mm] V$, $V$ endlichdim.
Im ersten Bsp. war [mm] $V=\IC^4$ [/mm] als Urbild- und als Bildraum gegeben, da gilt die Äquivalenz
Im zweiten Bsp. nicht
Gruß
schachuzipus
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Ahhhh.
Jetzt hab ichs verstanden.
Vielen dank für die Ausdauer. ;)
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