Injektiv, Surjektiv? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:18 Mi 17.02.2010 | | Autor: | kappen |
| Aufgabe | Prüfen Sie diese Abbildung auf Injektivität und Surjektivität.
f: [mm] R^2->R^2 [/mm] , f(x,y)=(xy,x+y) |
Hi leute.
Diese Aufgabe ist mir noch nicht ganz klar, da ich mir nur schwer was darunter vorstellen kann (Ana mit 2 Variablen haben wir noch garnicht gemacht, so eine ähnliche Aufgabe kam hingegen schon vor!).
Ich weiß, dass eine Funktion injektiv ist, wenn [mm] x_1!=x_2 \Rightarrow f(x_1)!=f(x_2). [/mm] Das eignet sich aber eher, wenn ich konkret ein Gegenbeispiel angeben möchte, oder?
Alternativ gibts dann da : [mm] f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2
[/mm]
Das wollte ich zeigen, aber passte nicht:
[mm] f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2) \gdw \begin{cases} x_1*y_1=x_2*y_2 \\ x_1+y_1=x_2+y_2 \end{cases} \Rightarrow x_1=x_2+y_2-y_1 \Rightarrow [/mm] einsetzen: [mm] (x_2+y_2-y_1)y_1=x_2*y_2 \gdw y_1^2-y_1*y_2=0 [/mm] und das ist nicht das selbe, wie [mm] y_1=y_2.
[/mm]
EDIT: ich bin ein idiot, wenn ich [mm] y_1 [/mm] ausklammere ist [mm] y_1=0 [/mm] und [mm] y_1=y_2. [/mm] Bedeutet das jetzt wiederrum, dass [mm] y_1=0 [/mm] sein MUSS oder wie habe ich das zu interpretieren?
[alt: Ist damit gezeigt, dass die Abbildung nicht injektiv ist, oder habe ich nur gezeigt, dass ich etwas nicht verstanden habe?
Müsste ich ein Gegenbeispiel angeben?]
In unserem Skript gabs noch eine 2. Möglichkeit, nämlich die Abbildung in eine Matrix zu schreiben und sich den Rang der Matrix anzugucken, aber ich gehe Recht in der Annahme, dass ich das x*y nicht durch eine Matrix ausdrücken kann?
Wie ich an die Surjektivität gehe weiß ich noch garnicht so genau :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 Mi 17.02.2010 | | Autor: | gfm |
Wenn Du untersuchst, welche Argumente (x,y) es für ein beliebiges Bild (a,b)=(xy,x+y) gibt, wirst Du feststellen, dass es i.A. nicht immer nur ein Argument und nicht immer überhaupt eins gibt, denn das Auflösen für nach x und y sollte u.a. auf eine "p-q"-Formel mit a und b hinauslaufen.
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:56 Do 18.02.2010 | | Autor: | kappen |
Okay, das war ja hier der Fall. Aber was sagt mir das nun?
Und was mich auch noch interessiert ist, wie das mit der Matrix läuft, kann ich keine Multiplikationen darstellen?
Danke & Schönen Abned
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:48 Do 18.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Okay, das war ja hier der Fall. Aber was sagt mir das nun?
Wenn nicht jedesmal ein Argument fuer ein Bild $(a, b)$ gibt? Kann die Funktion dann surjektiv sein?
Und wenn es mehrere gibt? Kann sie dann injektiv sein?
Schau dir mal die Definitionen von injektiv und surjektiv genau an.
Und dann finde konkrete Gegenbeispiele. Konkret heisst: gib Zahlen an. Nicht irgendwas mit Buchstaben rechnen und das als "Gegenbeispiel" stehen lassen.
> Und was mich auch noch interessiert ist, wie das mit der
> Matrix läuft, kann ich keine Multiplikationen darstellen?
Hier kannst du nichts mit Matrizen machen. Die Abbildung ist nicht linear. (Den Grund dafuer hast du aber schon genannt: naemlich die Multiplikation.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Do 18.02.2010 | | Autor: | kappen |
Okay. Falls es mehrere Argumente gibt, ist es nicht injektiv und wenns nicht für jedes eins gibt ist es nicht surjektiv.
Konkrete Gegenbeispiele wären für Injektivität:
[mm] x_1=0, y_1=2 \Rightarrow [/mm] f(0,2)=(0,2)
[mm] x_2=2, y_2=0 \Rightarrow [/mm] f(2,0)=(0,2)
Das heißt die Abbildung ist nicht injektiv, da das Bild trotz unterschiedlicher Argumente gleich ist.
Für Surjektivität gilt z.B.:
f(?,?)=(6,6)
Die einzigen Möglichkeiten, die 6 aus zwei reellen multiplikativ Zahlen darzustellen sind : [mm] 6=6*1=2*3=3*2=6*1=\wurzel{6}*\wurzel{6}
[/mm]
für dieses Bild gibt es aber keine Möglichkeit, es darzustellen:
[mm] 6+1=7\not=6
[/mm]
[mm] 2+3=5\not=6
[/mm]
[mm] 3+2=5\not=6
[/mm]
[mm] 1+6=7\not=6
[/mm]
[mm] \wurzel{6}+\wurzel{6}=2\wurzel{6}\not=6
[/mm]
Okay so?
Angenommen ich finde aber solche Beispiele nicht im Prüfungsstress, was mache ich? Denn es kann ja wohl auch - zumindest teilweise - berechnet werden. Habe mich beim 1. Versuch natürlich verrechnet -.-
habe jetzt sowas in der Art : [mm] y_1=\pm \wurzel{-\bruch{x_2*y_2}{4(x_2+y_2}}+0,5
[/mm]
Kann ich hierraus etwas folgern, außer dass [mm] x_2 [/mm] oder [mm] y_2 [/mm] negativ sein muss?
danke für die Hilfe!
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> Okay. Falls es mehrere Argumente gibt, ist es nicht
> injektiv und wenns nicht für jedes eins gibt ist es nicht
> surjektiv.
>
> Konkrete Gegenbeispiele wären für Injektivität:
>
> [mm]x_1=0, y_1=2 \Rightarrow[/mm] f(0,2)=(0,2)
> [mm]x_2=2, y_2=0 \Rightarrow[/mm] f(2,0)=(0,2)
>
> Das heißt die Abbildung ist nicht injektiv, da das Bild
> trotz unterschiedlicher Argumente gleich ist.
Das ist okay so. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Für Surjektivität gilt z.B.:
>
> f(?,?)=(6,6)
>
> Die einzigen Möglichkeiten, die 6 aus zwei reellen
> multiplikativ Zahlen darzustellen sind :
> [mm]6=6*1=2*3=3*2=6*1=\wurzel{6}*\wurzel{6}[/mm]
>
> für dieses Bild gibt es aber keine Möglichkeit, es
> darzustellen:
>
> [mm]6+1=7\not=6[/mm]
> [mm]2+3=5\not=6[/mm]
> [mm]3+2=5\not=6[/mm]
> [mm]1+6=7\not=6[/mm]
> [mm]\wurzel{6}+\wurzel{6}=2\wurzel{6}\not=6[/mm]
>
> Okay so?
Nein, das ist nicht okay.
Schon der Anfang "die einzigen Möglichkeiten..." ist nicht sehr vertrauenserweckend. Was ist zum Beispiel mit
[mm] \sqrt{2}*(\sqrt{2}*3)
[/mm]
? Das ergibt doch auch 6.
Das mit der Surjektivität musst du anders angehen.
Du nimmst dir die Formeln her und stellst (vollständig!) nach x und y um. Das bedeutet, du musst am Ende Gleichungen der Form
x = ... Term mit [mm] z_1 [/mm] ...
y = ... Term mit [mm] z_2 [/mm] ...
rausbekommen.
(I) $x*y = [mm] z_1$
[/mm]
(II) $x+y = [mm] z_2$
[/mm]
Aus (II) folgt:
$x = [mm] z_2 [/mm] - y$
In (I):
[mm] $(z_2-y)*y [/mm] = [mm] z_1$
[/mm]
Nun Lösen:
[mm] $y^2-z_2*y+z_1 [/mm] = 0$
$y = [mm] \frac{z_2}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{z_2}{2}\right)^{2}-z_1}$
[/mm]
Das heißt, wenn du ein beliebiges Ergebnis [mm] (z_1,z_2) [/mm] = f(x,y) bekommen möchtest, musst du das nur oben einsetzen und du weißt den y-Wert, den du dafür wählen musst. Nun musst du nur noch [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] finden, wofür du dann das y nicht berechnen kannst!
(Term unter der Wurzel muss negativ werden!)
Die Angabe eines konkreten Gegenbeispiels zusammen mit der obigen Rechnung reichen als Gegenbeispiel für die Surjektivität.
> Angenommen ich finde aber solche Beispiele nicht im
> Prüfungsstress, was mache ich? Denn es kann ja wohl auch -
> zumindest teilweise - berechnet werden.
Genau. Wenn du bei der Surjektivität bei solchen mehrdimensionalen Funktionen im Dunkeln krauchst, hilft eine einfache "Rechnung" durch Auflösen nach z.
Bei der Injektivität ist das meist ziemlich viel Aufwand. Wenn du Injektivität nachweisen sollst, musst du die Rechnung natürlich durchführen. Ansonsten solltest du dir lieber die einzelnen Operationen in den Komponenten der Funktion anschauen. Hier war das in der einen Komponente einfach x*y, in der anderen x+y. Das sind beides in den Variablen invariante Operationen, d.h. es ist egal, ob du (0,2) oder (2,0) einsetzt. Damit ist die Injektivität schon flach gefallen.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Do 18.02.2010 | | Autor: | kappen |
AAh, ich hab noch überlegt wegen R, in Z oder N wäre es besser gewesen ;) Zu kurz gedacht.
Wenn der Term unter der Wurzel negativ wird, gibt es für y kein Reelles Ergebnis mehr, also:
[mm] z_2^2<4z_1 \gdw z_2<2\wurzel{z_1} [/mm] und [mm] z_2>-2\wurzel{z_1}, [/mm] wobei [mm] z_1>0 [/mm] ist, sonst gibts kein Ergebnis hier (aber [mm] z_1 [/mm] insgesamt darf schon < 0 werden, z.B. funktioniert ja f(x,y)=(-1,0), wieso?)
Wenn ich jetzt [mm] z_1=1 [/mm] wähle muss [mm] z_2 [/mm] zwischen -2 und 2 sein, z.B. -1.
Das geht tatsächlich nicht:
x+y=-1 [mm] \gdw [/mm] x=-1-y
und x*y=1 [mm] \Rightarrow [/mm] (-1-y)*y=1 [mm] \gdw -y-y^2=1 \gdw (y+0.5)^2=-1+0.25 [/mm] , nicht lösbar..
So mehr okay? ;) danke!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Fr 19.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> Wenn der Term unter der Wurzel negativ wird, gibt es für y
> kein Reelles Ergebnis mehr, also:
>
> [mm]z_2^2<4z_1 \gdw z_2<2\wurzel{z_1}[/mm] und [mm]z_2>-2\wurzel{z_1},[/mm]
> wobei [mm]z_1>0[/mm] ist
Ja, genau dann gibt es kein [mm] $(x,y)\in\IR^2$ [/mm] mit [mm] $f(x,y)=(z_1,z_2)$.
[/mm]
(aber [mm]z_1[/mm]
> insgesamt darf schon < 0 werden, z.B. funktioniert ja
> f(x,y)=(-1,0), wieso?)
[mm] $z_1>0$ [/mm] war gerade eine Bedingung dafür, dass [mm] $f(x,y)=(z_1,z_2)$ [/mm] KEINE Lösung [mm] $(x,y)\in\IR^2$ [/mm] besitzt. Für [mm] $z_1\le0$ [/mm] gibt es immer eine Lösung.
> Wenn ich jetzt [mm]z_1=1[/mm] wähle muss [mm]z_2[/mm] zwischen -2 und 2
> sein, z.B. -1.
>
> Das geht tatsächlich nicht:
> x+y=-1 [mm]\gdw[/mm] x=-1-y
> und x*y=1 [mm]\Rightarrow[/mm] (-1-y)*y=1 [mm]\gdw -y-y^2=1 \gdw (y+0.5)^2=-1+0.25[/mm]
> , nicht lösbar..
Alles korrekt!
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:33 Fr 19.02.2010 | | Autor: | kappen |
Aaaah, besser klakomm, in welchem Fall man sich befindet. Fein, dann geht ja alles auf =)
Danke an alle, die sich an dem und an den anderen Threads so viel beteiligt haben, morgen kommt die Klausur und ich bin einigermaßen zuversichtlich.
Danke & Schönen Abend!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 Fr 19.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Dann morgen viel Erfolg!
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