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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Injek./det//konvex/submulti.M
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Injek./det//konvex/submulti.M: Stubs
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:45 Do 07.06.2012
Autor: EvelynSnowley2311

Aufgabe
Sei M [mm] \subset \IR^n [/mm] offen und konvex und ||.|| eine submultiplikative Matrixnorm. f : M [mm] \to \IR^n [/mm] sei stetig differenzierbar. mit det(Df(x)) [mm] \not= [/mm] 0 für alle x [mm] \in [/mm] M. Ferner gebe es eine invertierbare n x n Matrix A mit der Eigenschaft:


|| I - Df(x) [mm] \* A^{-1} [/mm] || < 1

Zeige, dass f dann ein Diffeomorphismus auf ganz M ist, d.h. f ist auf ganz M invertierbar.

huhu,

also gegeben hab ich:

-Konvex
- subm. Matrixnorm ( nach wiki ist dass || A [mm] \* [/mm] B || [mm] \le [/mm] ||A|| [mm] \* [/mm] ||B||
- stetig diffbar
-det Df(x) [mm] \not= [/mm] 0 ,also invertierbar
- eine Matrix [mm] A^{-1} \in [/mm] nxn Matriz die vorgegeben auch invertierbart ist
mit der (schwer nachvollziehbaren) Eigenschaft:

|| I - Df(x) [mm] \* A^{-1} [/mm] || < 1  (I soll die Einheitsmatrix sein)




nach unserem Übungsleiter sollen wir so rangehen:
z.z. ist die Injektivität:


Widerspruchsbeweis:

Annahme: es existiert ein x und ein x+y mit f(x) = f(x+y) bzw äquivalent
0 = f(x+y) - f(x)

jetzt habe ich einen Satz gefunden
https://vorhilfe.de/forum/Mittelwertsatz/t587269

mit

$ f(x+h)= f(x) + [mm] \left(\integral_{0}^{1} Df(x+h\cdot{}t) dt\right) \cdot{}h [/mm] $

wobei hier mein h = y ist.
dann komm ich doch auf


0 = f(x) - f(x) + [mm] (\integral_{0}^{1}{Df(x+y\*t) dt}) \* [/mm] y

jetzt muss ich ja "nur" noch für mein Widerpsruchsbeweis zeigen, dass

[mm] (\integral_{0}^{1}{Df(x+y\*t) dt}) \* [/mm] y  ungleich Null ist

weiß jemand wie ich das zeigen kann?


Gruß,

Eve

        
Bezug
Injek./det//konvex/submulti.M: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Sa 09.06.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                
Bezug
Injek./det//konvex/submulti.M: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:08 Sa 09.06.2012
Autor: EvelynSnowley2311

Die Aufgabe ist wahrscheinlich wirklich so schwer, wie sie mir erschien. Selbst unsere beste Komilitonin weiß keine Lösung.

Ich hoffe aber, dass sich noch jemand hier finden wird, der weiß, wie weitergeht ;P

Bezug
                        
Bezug
Injek./det//konvex/submulti.M: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:05 So 10.06.2012
Autor: SEcki


> Ich hoffe aber, dass sich noch jemand hier finden wird, der
> weiß, wie weitergeht ;P

Vielleicht als Idee: Falls A die Einheitsmatrix ist, geht das mit dem Banachschen Fixpunktsatz. Denn dann kann man für ein x OBdA [m]x=f(x)=0[/m] annehmen und dann die Abbildung [m]x\mapsto x-f(x)[/m] betrachten.

SEcki


Bezug
                                
Bezug
Injek./det//konvex/submulti.M: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:15 So 10.06.2012
Autor: EvelynSnowley2311

huhu

danke für die Antwort ;)

Muss ich dann ne Fallunterscheidung machen, weil A ja nicht vorgegeben ist?

den Fixpunktsatz hatten wir nicht, aber hab ich mir gerade angeguckt.
ist dann bei meiner Kontraktion meine Konstante [mm] \lambda [/mm] das, was bei mir in den betragstrichen steht aus der Aufgabenstellung?



Bezug
                                        
Bezug
Injek./det//konvex/submulti.M: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Di 12.06.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                        
Bezug
Injek./det//konvex/submulti.M: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Mo 11.06.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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