Inhomogene DGL 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:06 So 16.03.2008 | | Autor: | SirTech |
| Aufgabe | Gesucht ist die allgemeine Lösung der DGL:
x''(t)+2*x'(t)+x=t*e^(-t) |
Meine lambda(1/2) sind gleich -1.
Es liegt also der Fall [mm] D=a^2-4b=0 [/mm] vor
Die allgemeine Lösung lautet somit:
[mm] x(t)=(C_1*t+C_2)*e^{-2t}
[/mm]
Ich bin jetzt nicht sicher was zu tun ist, vielleicht kann mir jemand helfen ?!
Wäre sehr nett.
Danke und Gruß -Pat
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 So 16.03.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo Pat,
die Vorgehensweise zur Bestimmung der homogenen Lösung ist okay, Du hast Dich allerdings mit dem Exponentialkoeffzienten verhauen, denn der ist -1, wie Du ja selbst ausgerechnest hast.
Die allgemeine Lösung ist damit
$$ [mm] x(t)=(C_1\cdot [/mm] t [mm] +C_2)\cdot{}e^{-t}$$
[/mm]
Jetzt hilft Dir ein Ansatz vom Typ der rechten Seite weiter. Zu dieser rechten Seite gehört eine zweifache reelle Nullstelle mit einem Lambawert von -1; man spricht von einer zweifachen Resonanz und multipliziert deswegen den Satz partikulärer Lösungen mit [mm] t^2 [/mm].
Der Ansatz lautet also
$$ [mm] y_p [/mm] = A [mm] \cdot t^3 \cdot e^{-t} [/mm] + B [mm] \cdot t^2 \cdot e^{-t} \, [/mm] . $$
Diesen Lösungsansatz musst Du jetzt zweimal ableiten, in die Gleichung einsetzen und einen Koeffizientenvergleich für A und B durchführen.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Mo 08.09.2008 | | Autor: | SirTech |
Totgeglaubte leben länger ... ich habe das Thema noch einmal ausgegraben und hänge gerade am gleichen Problem wieder fest. Ich habe bis zu dem Punkt alles vestanden wo Infinit das [mm] t^{2} [/mm] ins Spiel bringt.
Ich weiß nicht wie er auf:
$ [mm] y_p [/mm] = A [mm] \cdot t^3 \cdot e^{-t} [/mm] + B [mm] \cdot t^2 \cdot e^{-t} \, [/mm] . $
kommt :(
Denn in meinem Lehrbuch wird für diesen Störfaktorfall folgende Lösung angeboten:
[mm] g(x)=x*e^{-x} [/mm] => [mm] y(p)=x*e^{x}*(a_{1}*x+a_{0})
[/mm]
Vielleicht kann mir da jemand helfen ?
Grüße -SirTech
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Mo 08.09.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo SirTech,
der Ansatz aus Deinem Lehrbuch ist ja auch okay, man muss aber noch überprüfen, ob die Eigenwerte für diese Funktion auch Eigenwerte der homogenen DGL sind. Ist dies der Fall und sind diese Werte m-fache Nullstelle des charakteristischen Polynoms, so ist der Ansatz vom Typ der rechten Seite noch mit [mm] x^m [/mm] zu multiplizieren. Das habe ich gemacht, denn bei Dir ist die -1 ja zweifache Nullstelle des charakteristischen Polynoms.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:13 Mo 08.09.2008 | | Autor: | SirTech |
Ach, jetzt verstehe ich!!!
Tausend Danke.
Grüße -SirTech
|
|
|
|
