Inhomogene DGL 2.Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Sa 23.02.2008 | | Autor: | Illombre |
| Aufgabe | Bestimme die allgemeine Lösung folgender Diff'gleichung mit Hilfe der Variation der Konstanten:
[mm]x^2y'' + 2xy' - 2y = x^5[/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Im Laufe meiner Prüfungsvorbereitung (Analysis an der Uni) hat mir das Durchlesen anderer Aufgaben und Lösungen schon viel geholfen! Danke!!
Bei dieser Aufgabe komme ich aber irgendwie nicht weiter und habe auch kein ähnliches Beispiel gefunden.
Die allgemeinste homogene Lösung ist
[mm] y(x) = x + \bruch{c1}{x} + c2 [/mm].
Mein Problem ist nun die inhomogene DGL zu Lösen. Ich habe folgenden Ansatz versucht:
[mm]
\begin{matrix}
y(x)&= & x + c(x) \\
y'(x)&= & 1+c'(x) \\
y''(x)&= & c''(x)
\end{matrix}
[/mm]
Dann ergibt sich nach Einsetzen:
[mm]
x^2c'' + 2xc' - 2c = x^5
[/mm]
Was ja wieder die Ausgangsgleichung ist...?
Ein zweiter Ansatz:
[mm]
\begin{matrix}
y(x)&= & xc(x) \\
y'(x)&= & c(x) + xc'(x) \\
y''(x)&= & 2c'(x) + xc''(x)
\end{matrix}
[/mm]
Mit diesem Ansatz bekomme ich:
[mm]
\begin{matrix}
& x^2(2c'+xc'')+2x(c+xc')-2xc = x^5 \\
\gdw & 2x^2c'+x^3c''+2xc+2x^2c'-2xc = x^5 \\
\gdw & x^3c''+4x^2c' = x^5 \\
\gdw & c'' = x^2-\bruch{4}{x}c'
\end{matrix}
[/mm]
Davon habe ich dann versucht das doppelte Integral zu bilden, habe es aber nicht zu ende gebracht. Maxima (kostenlose GPL-Mathesoftware) liefert mir als Lösung der inhomogenen DGL [mm]y(x) = x+\bruch{x^5}{30}[/mm]
Bin ich auf dem richtigen Weg oder kann mir jemand einen kleinen Schubs in die richtige Richtung geben?
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Hallo Illombre,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bestimme die allgemeine Lösung folgender Diff'gleichung mit
> Hilfe der Variation der Konstanten:
> [mm]x^2y'' + 2xy' - 2y = x^5[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem
> Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> Hallo!
> Im Laufe meiner Prüfungsvorbereitung (Analysis an der Uni)
> hat mir das Durchlesen anderer Aufgaben und Lösungen schon
> viel geholfen! Danke!!
> Bei dieser Aufgabe komme ich aber irgendwie nicht weiter
> und habe auch kein ähnliches Beispiel gefunden.
>
> Die allgemeinste homogene Lösung ist
> [mm]y(x) = x + \bruch{c1}{x} + c2 [/mm]
Die homogene Lösung lautet: [mm]y\left(x\right)={\bruch{c_{1}}{x^\red{2}}}+c_{2}*x[/mm]
>
> Mein Problem ist nun die inhomogene DGL zu Lösen. Ich habe
> folgenden Ansatz versucht:
> [mm]
\begin{matrix}
y(x)&= & x + c(x) \\
y'(x)&= & 1+c'(x) \\
y''(x)&= & c''(x)
\end{matrix}
[/mm]
>
> Dann ergibt sich nach Einsetzen:
> [mm]
x^2c'' + 2xc' - 2c = x^5
[/mm]
> Was ja wieder die
> Ausgangsgleichung ist...?
>
> Ein zweiter Ansatz:
> [mm]
\begin{matrix}
y(x)&= & xc(x) \\
y'(x)&= & c(x) + xc'(x) \\
y''(x)&= & 2c'(x) + xc''(x)
\end{matrix}
[/mm]
>
> Mit diesem Ansatz bekomme ich:
> [mm]
\begin{matrix}
& x^2(2c'+xc'')+2x(c+xc')-2xc = x^5 \\
\gdw & 2x^2c'+x^3c''+2xc+2x^2c'-2xc = x^5 \\
\gdw & x^3c''+4x^2c' = x^5 \\
\gdw & c'' = x^2-\bruch{4}{x}c'
\end{matrix}
[/mm]
>
> Davon habe ich dann versucht das doppelte Integral zu
> bilden, habe es aber nicht zu ende gebracht. Maxima
> (kostenlose GPL-Mathesoftware) liefert mir als Lösung der
> inhomogenen DGL [mm]y(x) = x+\bruch{x^5}{30}[/mm]
Wobei [mm]x[/mm] auch eine Lösung der homogenen DGL ist.
>
> Bin ich auf dem richtigen Weg oder kann mir jemand einen
> kleinen Schubs in die richtige Richtung geben?
Versuches mit dem Ansatz [mm]y\left(x\right)=a*x^5+b*x^4+c*x^3+d*x^2+e*x+f[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Sa 23.02.2008 | | Autor: | Illombre |
Ein ganz herzliches Dankeschön für deine Mühe!
Bei der Lösung der homogenen Gleichung muss ich irgendwas durcheinandergebracht haben...
Ich habe schon mehrere Seiten mit dieser Aufgabenstellung gefüllt, und deine Lösung hatte ich auch schon mal raus. 
Mit Hilfe deines Ansatzes bekomme ich
[m]y(x) = \bruch{x^5}{28}[/m]
Das scheint mir richtig zu sein.
Ist das jetzt eigentlich "nur" eine Partielle Lösung, oder schon die "Gesamtlösung"?
Wäre die "Gesamtlösung" folgende?
[m]y(x) = \bruch{x^5}{28} + c1x + \bruch{c2}{x^2}[/m]
Mein Problem mit der Aufgabenstellung war/ist, dass da steht ich soll es mit Hilfe der Variation der Konstanten lösen (was für inhomogene DGLs erster Ordnung bisher kein Problem dargestellt hat).
Kann man hier dieses Verfahren sinnvoll anwenden (wenn ja, wie geht das), oder sollte ich bei Aufgaben dieses Typs eher den von dir vorgeschlagenen Ansatz wählen?
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Hallo Illombre ,
> Ein ganz herzliches Dankeschön für deine Mühe!
>
> Bei der Lösung der homogenen Gleichung muss ich irgendwas
> durcheinandergebracht haben...
> Ich habe schon mehrere Seiten mit dieser Aufgabenstellung
> gefüllt, und deine Lösung hatte ich auch schon mal raus.
>
>
> Mit Hilfe deines Ansatzes bekomme ich
> [m]y(x) = \bruch{x^5}{28}[/m]
> Das scheint mir richtig zu sein.
Ja, das kann ich bestätigen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ist das jetzt eigentlich "nur" eine Partielle Lösung, oder
> schon die "Gesamtlösung"?
Es ist "nur" eine partielle Lösung.
> Wäre die "Gesamtlösung" folgende?
> [m]y(x) = \bruch{x^5}{28} + c1x + \bruch{c2}{x^2}[/m]
Ja. Die Lösung einer inhomogenen DGL ergibt sich aus der Lösung der homogenen DGL plus dem partikulären Integral.
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> Mein Problem mit der Aufgabenstellung war/ist, dass da
> steht ich soll es mit Hilfe der Variation der Konstanten
> lösen (was für inhomogene DGLs erster Ordnung bisher kein
> Problem dargestellt hat).
> Kann man hier dieses Verfahren sinnvoll anwenden (wenn ja,
> wie geht das), oder sollte ich bei Aufgaben dieses Typs
> eher den von dir vorgeschlagenen Ansatz wählen?
In der Regel solltest Du den vorgegebenen Ansatz wählen.
Das Verfahren der Variation der Konstanten ist der DGL's der Ordnung 2 oder höher aufwendiger.
Wie das Verfahren bei DGL's der Ordnung 2 oder höher funktioniert, kann ich nicht sagen. Nur soviel:
Der Ansatz ist auch hier: [mm]y\left(x\right)=c_{1}\left(x\right)*y_{1}\left(x\right)+c_{2}\left(x\right)*y_{2}\left(x\right)[/mm]
Gruß
MathePower
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