Inh. lineare. Diffgl. 2.Ordn. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 Mo 11.06.2012 | | Autor: | ggT |
| Aufgabe | Betrachte die inhomogene lineare Differentialgleichung 2.Ordnung:
$y'' = 4y' - 4y$
Gib die Lösungsgesamtheit der Diffentialgleichung an. |
Nachdem ich nun einige Zeit ins Buch geschaut hab, habe ich folgenden Ansatz zu Stande gebracht: [mm] \\
[/mm]
$y'' - 4y' + 4y = 0$ [mm] \\
[/mm]
Exponentialansatz: [mm] $y=e^{\lambda x} \quad y'=\lambda e^{\lambda x} \quad y''=\lambda^{2} e^{\lambda x}$ \\
[/mm]
$ y'' - 4y' + 4y = [mm] \lambda^{2}e^{\lambda x} [/mm] - 4 [mm] \lambda e^{\lambda x} [/mm] + 4 [mm] e^{\lambda x}$ \\
[/mm]
[mm] $\Rightarrow (\lambda^{2} [/mm] - 4 [mm] \lambda [/mm] + [mm] 4)e^{\lambda x} [/mm] = 0 $ [mm] \\
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \lambda^{2} [/mm] - 4 [mm] \lambda [/mm] + 4 = 0 $ [mm] \\
[/mm]
Anwendung der pq-Formel: [mm] \\
[/mm]
$ [mm] \lambda_{1,2} [/mm] = 2 [mm] \pm \sqrt{4-4} [/mm] = 2 $ [mm] \\
[/mm]
Inwiefern ist der Ansatz richtig und wie komme ich von hier aus nun weiter?
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Hallo ggT,
> Betrachte die inhomogene lineare Differentialgleichung
> 2.Ordnung:
>
> [mm]y'' = 4y' - 4y[/mm]
Wieso "inhomogen"?
>
> Gib die Lösungsgesamtheit der Diffentialgleichung an.
> Nachdem ich nun einige Zeit ins Buch geschaut hab, habe
> ich folgenden Ansatz zu Stande gebracht: [mm]\\
[/mm]
>
> [mm]y'' - 4y' + 4y = 0[/mm] [mm]\\
[/mm]
>
> Exponentialansatz: [mm]y=e^{\lambda x} \quad y'=\lambda e^{\lambda x} \quad y''=\lambda^{2} e^{\lambda x}[/mm]
> [mm]\\
[/mm]
>
> [mm]y'' - 4y' + 4y = \lambda^{2}e^{\lambda x} - 4 \lambda e^{\lambda x} + 4 e^{\lambda x}[/mm]
> [mm]\\
[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow (\lambda^{2} - 4 \lambda + 4)e^{\lambda x} = 0[/mm]
> [mm]\\
[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \lambda^{2} - 4 \lambda + 4 = 0[/mm] [mm]\\
[/mm]
>
> Anwendung der pq-Formel: [mm]\\
[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4-4} = 2[/mm] [mm]\\
[/mm]
>
> Inwiefern ist der Ansatz richtig und wie komme ich von hier
> aus nun weiter?
Das ist richtig, mit [mm]\lambda_{1,2}=2[/mm] ergibt sich die Lösung zu
[mm]y(x)=c_1e^{2x}+c_2xe^{2x}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Mo 11.06.2012 | | Autor: | ggT |
Ja, das mit inhomogen hat mich auch irritiert. Aber dachte liegt daran, dass ich noch nicht geübt genug bin, inhomogene Diff.gleichungen zu erkennen.
Also ist das unten tatsächlich schon das Ergebnis?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:14 Mo 11.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, Probe durch differenzieren und einsetzen!
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:12 Di 12.06.2012 | | Autor: | ggT |
Wunderbar. Dann vielen Dank für eure Hilfe.
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