Infinite Matrix nummerieren < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Geben sie eine bijektive Abbildung von Q+ auf N an. |
Ich hab mir bereits überlegt, dass ich die Rationalen Zahlen Q als unendliche Matrix interpretieren kann. Wenn eine rationale Zahl q element Q+ darstellbar ist als a/b, wobei a,b element N, dann ist q_ab das Element meiner Matrix.
Jetzt stehe ich vor dem Problem, dass ich nicht recht weis, wie ich meine Matrix nummerieren soll, und vor allem wie ich dazu eine saubere Abbildungsvorschrift formulieren soll.
Meine Nummerierungsidee:
1 2 5 10 17 26
4 3 6 11 18 27
9 8 7 12 19 28
16 15 14 13 20 29
25 24 23 22 21 30
36 35 34 33 32 31
Also immer gegen der Uhrzeigersinn um die bisherigen Nummerierungen herum. Aber so ganz überzeugt bin ich von meiner Idee noch nicht.
Wie nummerier ich die Matrix denn am besten eindeutig? 
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Ich hab eine Lösung gefunden.
Wenn q aus Q als a/b darstellbar ist, dann ist
((a+b)²-a-3b)/2 eine Abbildung von Q auf N0.
Die Matrix wird dabei in Diagonalen durchnummeriert:
0 2 5
1 4
3
So jetzt weis ich aber nicht, wie ich die Bijektivität nachweisen soll.
Für die Injektivität müsste schonmal
((a+b)²-a-3b)/2 = ((c+d)²-c-3d)/2 => a=c, b=d
gelten. Aber wie mach ich das bitte? :(
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 Mi 12.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:31 Mi 12.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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