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Infimumseigenschaft,: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:42 Mi 06.02.2013
Autor: theresetom

Aufgabe
Existenz des Infimums jeder nach unten beschränkten Teilmenge X [mm] \subset [/mm] R zu forden <=> Supremumseigenschaft

Beweisversuch:

<=

Sei X [mm] \subset \IR, [/mm] X [mm] \not= \{\} [/mm] und nach unten beschränkt.
Sei U die Menge aller Schranken von X, U [mm] \not= \{ \} [/mm] da X nach unten beschränkt.  [mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U : u [mm] \le [/mm] x (x [mm] \in [/mm] X beliebig)
=> [mm] \exists \gamma [/mm] := sup(U) (da U nach oben beschränkt ist durch X)
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X gilt [mm] \gamma \le [/mm] x nach Konstruktion.
Aber wie zeige [mm] ich:\forall \epsilon>0 [/mm] gibt es ein x [mm] \in [/mm] X mit [mm] \gamma [/mm] + [mm] \epsilon [/mm] > x  ? Also dass [mm] \gama [/mm] wirklich die GRÖßTE untere schranke von X ist=?


        
Bezug
Infimumseigenschaft,: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:55 Mi 06.02.2013
Autor: SEcki


>  => [mm]\exists \gamma[/mm] := sup(U) (da U nach oben beschränkt

> ist durch X)
>  [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] X gilt [mm]\gamma \le[/mm] x nach Konstruktion.

Aha. Wieso?

> Also dass [mm]\gama[/mm] wirklich die
> GRÖßTE untere schranke von X ist=?

Sie y ein beliebiges Element aus U. Dann gilt wg. der Spremumseigenschaft [m]y\le \gamma[/m]. Wenn also [m]\gamma[/m] eine untere Schranke ist, so ist es die größte - denn alle anderen sind kleiner gleich!

SEcki

Bezug
                
Bezug
Infimumseigenschaft,: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:15 Do 07.02.2013
Autor: theresetom

Danke. Da hab ich vertan. Für mich ist somit noch offen wieso Gamma eine untere Schranke von X ist. Vlt kannst dir da auch nnoch einen Rat geben

Bezug
                        
Bezug
Infimumseigenschaft,: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:23 Do 07.02.2013
Autor: fred97


> Danke. Da hab ich vertan. Für mich ist somit noch offen
> wieso Gamma eine untere Schranke von X ist. Vlt kannst dir
> da auch nnoch einen Rat geben

Du hast doch eigenhändig geschrieben:

  $ [mm] \exists \gamma [/mm] $ := sup(U)
$ [mm] \forall [/mm] $ x $ [mm] \in [/mm] $ X gilt $ [mm] \gamma \le [/mm] $ x nach Konstruktion.


FRED


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