Inf und Sup von Mengen bestimm < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1.)
M = { [mm] (-1)^n [/mm] + [mm] \bruch{1}{n} [/mm] : n [mm] \in \IN [/mm] }
2.
M = { x [mm] \in \IQ [/mm] : x [mm] \ge [/mm] 0 und 2 < [mm] x^2 [/mm] < 4 }
3.
M = { [mm] \summe_{k=1}^{n} (\bruch{1}{4})^k [/mm] : [mm] \in \IN [/mm] }
4.
M = { 1+ [mm] \bruch{1}{4n} [/mm] + [mm] \bruch{(-1)^n}{2m} [/mm] : n , m [mm] \in \IN [/mm] }
5.
M = { [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] (k - [mm] \bruch{1}{2^k} [/mm] ) - [mm] \bruch{n^2 + n + 1}{n} [/mm] : [mm] \in \IN [/mm] }
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Hallo zusammen :)
Stehe gerade vor diesen Aufgaben...
Wie gehe ich da am besten vor?
Schreibe ich mir einfach die ersten Glieder auf und schätze dann oder wie :)
Bei der (a) kriege ich es noch hin... Jedoch durch "ausrechnen" der ersten glieder.
Dort hab ich sup M = 1.5 und inf M = -1
zu 2.) Hier müsste sup M = 2 und infM = [mm] \wurzel(2)
[/mm]
3 , 4 , 5 scheitere ich..
Lg,
Steffi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 So 27.01.2008 | | Autor: | abakus |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> 1.)
> M = { [mm](-1)^n[/mm] + [mm]\bruch{1}{n}[/mm] : n [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> 2.
> M = { x [mm]\in \IQ[/mm] : x [mm]\ge[/mm] 0 und 2 < [mm]x^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
< 4 }
>
> 3.
> M = { [mm]\summe_{k=1}^{n} (\bruch{1}{4}^k[/mm] : [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
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> 4.
> M = { 1+ [mm]\bruch{1}{4n}[/mm] + [mm]\bruch{(-1)^n}{2m}[/mm] : n , m [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
>
> 5.
> M = { [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] (k - [mm]\bruch{1}{2^k}[/mm] ) - [mm]\bruch{n^2 + n + 1}{n}[/mm]
> : [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> Hallo zusammen :)
>
> Stehe gerade vor diesen Aufgaben...
>
> Wie gehe ich da am besten vor?
> Schreibe ich mir einfach die ersten Glieder auf und
> schätze dann oder wie :)
>
> Bei der (a) kriege ich es noch hin... Jedoch durch
> "ausrechnen" der ersten glieder.
>
> Dort hab ich sup M = 1.5 und inf M = -1
>
> zu 2.) Hier müsste sup M = 2 und infM = [mm]\wurzel(2)[/mm]
>
> 3 , 4 , 5 scheitere ich..
Nur ein paar Anregungen:
3) Suche in einer Formelsmmlung oder in deinen Aufzeichungen die Summenformel der geometrischen Reihe. Avhte aber darauf, ob der erste Summand dort [mm] a_0 [/mm] oder [mm] a_1 [/mm] heißt.
4) Betrachte getrennt gerade und ungerade Werte für n.
5) Die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis n ist n(n+1)/2. Die Summe aller [mm] (1/2)^k [/mm] ist wieder mal die Summe einer geometrischen Reihe.
>
>
> Lg,
> Steffi
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Sei mir bitte nicht böse, aber irgendwie werde ich aus Deinen Tips nicht schlau :(
Die Geometrische Reihe habe ich gefunden:
[mm] s_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{0} [/mm] * [mm] q^k
[/mm]
Lg,
Steffi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 So 27.01.2008 | | Autor: | abakus |
> Sei mir bitte nicht böse, aber irgendwie werde ich aus
> Deinen Tips nicht schlau :(
>
> Die Geometrische Reihe habe ich gefunden:
>
> [mm]s_{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} a_{0}[/mm] * [mm]q^k[/mm]
>
Für diese Summe gilt:
[mm] =a_0\bruch{q^{n+1}-1}{q-1}
[/mm]
(aber schau lieber noch mal nach).
> Lg,
> Steffi
>
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Mein [mm] a_{0} [/mm] ist die Partialsumme für den ersten Durchlauf mit k = 0 oder ?
Also
[mm] a_{0} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{4})^k [/mm]
= 1
Also habe ich dann nach Deiner Formel
= [mm] a_{0} [/mm] * [mm] \bruch{q^{n+1} - 1}{q-1}
[/mm]
Eingesetzt:
1 * [mm] \bruch{(\bruch{1}{4})^{1+1} - 1}{\bruch{1}{4}-1}
[/mm]
= [mm] \bruch{5}{4}
[/mm]
Aber was sagt mir das jetzt :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 So 27.01.2008 | | Autor: | abakus |
> Mein [mm]a_{0}[/mm] ist die Partialsumme für den ersten Durchlauf
> mit k = 0 oder ?
>
> Also
>
> [mm]a_{0}[/mm] = [mm](\bruch{1}{4})^k[/mm]
> = 1
>
> Also habe ich dann nach Deiner Formel
>
> = [mm]a_{0}[/mm] * [mm]\bruch{q^{n+1} - 1}{q-1}[/mm]
>
> Eingesetzt:
> 1 * [mm]\bruch{(\bruch{1}{4})^{1+1} - 1}{\bruch{1}{4}-1}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{5}{4}[/mm]
>
> Aber was sagt mir das jetzt :)
Das sagt erst einmal, dass [mm] \bruch{1}{4}=\bruch{5}{4} [/mm] gelten müsste  . Das Problem ist, dass die "Standardformel" mit [mm] a_0 [/mm] beginnt, während dein erstes Glied [mm] a_1 [/mm] ist. Du musst also am Ende von der Summenformel den fehlenden Summanden [mm] a_0=(1/4)^0=1 [/mm] subtrahieren.
Die Summe aller [mm] 0,25^k [/mm] von k=1 bis n ist also
[mm] 1*\bruch{0,25^{n+1}-1}{0,25-1} [/mm] -1
[mm] =\bruch{1-0,25^{n+1}}{0,75} [/mm] -1
[mm] =\bruch{1}{3}-\bruch{4*0,25^{n+1}}{3}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{3}-\bruch{0,25^n}{3}
[/mm]
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