Induktionsprinzip II < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:10 So 24.10.2010 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Beweisen Sie mit Hilfe des Induktionsprinzips II die folgende Aussage:
Jede natürliche Zahl n lässt sich mit Hilfe eines k [mm] \ge [/mm] 0 und eines ungeraden q [mm] \varepsilon \IN [/mm] in der Form
n = 2k · q
darstellen. |
Hab da gar keine Ahnung. Ich kenne aber dieses Prinzip.
Induktionsanfang: A(1) muss wahr sein
Induktionsschluss: Wenn A(k) für alle k mit k [mm] \ge [/mm] 0 wahr sind, dann ist auch A(n) wahr.
Folgerung: A ist für beliebige n [mm] \varepsilon \IN [/mm] wahr
So ungefähr muss das nachher doch da stehn. Aber die Anwendung fällt mir nun doch was schwer. Ein Ansatz wäre hilfreich
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:06 So 24.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ist das wörtlich die Aufgabe?
a) wenn k ganz sein soll ist das falsch,
b) k nicht ganz , du kannst ein beliebiges q nehmen und 2k=n/q
Also sieh nochmal die Aufgabe nach.
gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:35 Mo 25.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie mit Hilfe des Induktionsprinzips II die
> folgende Aussage:
> Jede natürliche Zahl n lässt sich mit Hilfe eines k [mm]\ge[/mm]
> 0 und eines ungeraden q [mm]\varepsilon \IN[/mm] in der Form
> n = 2k · q
> darstellen.
>
> Hab da gar keine Ahnung.
> Ich kenne aber dieses Prinzip.
bist Du sicher ?
>
> Induktionsanfang: A(1) muss wahr sein
>
> Induktionsschluss: Wenn A(k) für alle k mit k [mm]\ge[/mm] 0 wahr
> sind, dann ist auch A(n) wahr.
Nein. Du schreibst als Induktionsvor::
" Wenn A(k) für alle k mit k [mm]\ge[/mm] 0 wahr "
Wenn Du das voraussetzt, so mußt Du doch nichts mehr zeigen !!!!
Also, wie lautet die Induktionsvor. korrekt ?
Den Rest hat leduart Dir schon gesagt.
FRED
>
> Folgerung: A ist für beliebige n [mm]\varepsilon \IN[/mm] wahr
>
> So ungefähr muss das nachher doch da stehn. Aber die
> Anwendung fällt mir nun doch was schwer. Ein Ansatz wäre
> hilfreich
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Mo 25.10.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ja, hab mehrmals nachgeschaut. Die Aufgabe ist wirklich so gestellt.
Das Induktionsprinzip bzw. dessen "Schluss" besagt doch folgendes:
Wenn die Aussagen A(k) für k [mm] \varepsilon \IN [/mm] mit k [mm] \le [/mm] n wahr sind, dann ist auch A(n+1) wahr.
Also muss man nicht beweisen, dass die Aussagen A(k) sind, denn das ist die Voraussetzung. Man müsste im 2.Fall nur zeigen, dass A(n+1) gilt. Im ersten Fall ("Anfang") muss A(1) gelten. Oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:41 Di 26.10.2010 | | Autor: | Fulla |
Hallo SolRakt,
kann es sein, dass die Aufgabe so lautet?
Jede natürliche Zahl [mm]n[/mm] lässt sich mit Hilfe eines [mm]k\ge 0[/mm] ([mm]{\color{red}k\in\mathbb R}}[/mm]) und eines ungeraden [mm]q\in\mathbb N}[/mm] in der Form [mm]n=2^k\cdot q[/mm] darstellen.
EDIT: ich meine natürlich [mm] $k\in\mathbb [/mm] N$
Zum Induktionsprinzip:
Induktionsanfang: du zeigst die Aussage A(n) für ein (möglichst kleines) n.
Induktionsvoraussetzung: Angenommen die Aussage sei bereits für ein n bewiesen.
Induktionsschritt: Zeige, dass folgt: A(n) ist wahr [mm]\Rightarrow[/mm] A(n+1) ist wahr.
Ein Tipp für die Aufgabe (falls sie so lautete, wie ich oben geschrieben hab): Primfaktorzerlegung
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:33 Di 26.10.2010 | | Autor: | SolRakt |
Aber das Induktionsprinzip, dass du da nennst. Ist das nicht das erste? Oder ist das egal?
Und was bitte ist Primfaktorzerlegung?
Sry aber hab das noch nie gehört.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich find's echt schön, daß Fulla im 5.Post dieses Threads die vermutliche Aufgabenstellung erraten hat. (Fulla, hast Du meine Kristallkugel geklaut?)
Ich find's aber gar nicht schön, daß Du nicht sagst, ob Fulla richtig geraten hat, oder ob's auf Deinem Aufgabenblatt wirklich so steht, wie zuvor von Dir gepostet.
Falls es auf Deinem Aufgabenblatt wirklich anders steht als bei Fulla, dann haben Deine Chefs bzw. ihre Untertanen einen Tippfehler gemacht und zumindest das ^-Zeichen für "hoch" vergessen.
In der von Dir geposteten Fassung würdest Du nämlich zeigen, daß jede natürliche Zahl gerade ist - dies zu beweisen, erscheint mir nicht vielversprechend.
Wir stellen hier also nochmals fest, daß dies gezeigt werden soll:
Jede natürliche Zahl $ n $ lässt sich mit Hilfe eines $ [mm] k\in \IN_0 [/mm] $ und eines ungeraden $ [mm] q\in\IN [/mm] $ in der Form $ [mm] n=2^k\cdot [/mm] q $ darstellen.
> Aber das Induktionsprinzip, dass du da nennst. Ist das
> nicht das erste?
Doch, das ist das erste.
> Oder ist das egal?
Hier nicht, denn mit dem ersten gelingt der Beweis nicht.
>
> Und was bitte ist Primfaktorzerlegung?
> Sry aber hab das noch nie gehört.
Heidewitzka! Habt Ihr das nicht in der Unterstufe gemacht? (Meine Schüler gucken mich auch immer an wie ein Marsmännchen, wenn ich "Primfaktorzerlegung" sage...)
Primfaktorzerlegung ist die Zerlegung einer natürlichen Zahl in ein Produkt von Primzahlen. Sie ist übrigens bis auf die Reihenfolge eindeutig.
Beispiel: [mm] 360=2*2*2*3*3*5=2^3*3^2*5
[/mm]
Nun zum Beweis:
1. Induktionsanfang:
Zeige, daß die Aussage für n=1 gilt.
gib hierzu ein passendes k und ein ungerades q an, so daß [mm] 1=2^k*q.
[/mm]
2. Induktionsannahme: Sei [mm] n\in \IN.
[/mm]
Nimm an, daß die Aussage für alle [mm] n'\in \IN [/mm] mit [mm] 1\le n'\le [/mm] n gezeigt ist.
3. Induktionsschluß: Zeige, daß die Aussage unter dieser Voraussetzung auch für n+1 gilt, daß Du also ein passendes [mm] k_{n+1}\in \IN_0 [/mm] und ein passendes ungerades [mm] q_{n+1}\in \IN [/mm] findest mit [mm] n+1=2^{k_{n+1}}*q_{n+1}.
[/mm]
Tip: mach eine Fallunterscheidung nach n+1 gerade und n+1 ungerade.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Di 26.10.2010 | | Autor: | SolRakt |
Sry, wegen der Aufgabe. Stimmt schon. Ich schaus mir nächstes Mal nochmal an.
Also, beim Induktionsanfang könnte ich dann doch sagen, dass k = 0 und q=1 sein muss. Reicht das aus oder muss ich das wirklich beweisen? Ich mein, wenn man einsetzt, sieht man ja, dass 1=1 rauskommt. Demnach wäre das dann doch schon gezeigt?
Beim Induktionsschluss. Man muss ja zeigen, dass das auch für n+1 gilt, ähnlich wie in Ind. I
Darf man das so zerlegen:
n + 1 = [mm] 2{k_{n}} \* 2{k_{1}} \* q_{n} \* q_{1}
[/mm]
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> Also, beim Induktionsanfang könnte ich dann doch sagen,
> dass k = 0 und q=1 sein muss. Reicht das aus oder muss ich
> das wirklich beweisen? Ich mein, wenn man einsetzt, sieht
> man ja, dass 1=1 rauskommt. Demnach wäre das dann doch
> schon gezeigt?
Hallo,
das, was Du hier wortreich erzählst, mußt du als Induktionsanfang aufschreiben.
Induktionsanfang: n=1.
Mit k=0 und q=1 hat man [mm] 1=2^0*1.
[/mm]
Also gilt die Behauptung für n=1.
Als nächstes ist es, zumindest solange man noch nicht so ganz Herr bzw. Frau der Lage ist, unbedingt nötig, die Induktionsvoraussetzung aufzuschreiben - die Chefs wollen sie auch sehen.
> Beim Induktionsschluss. Man muss ja zeigen, dass das auch
> für n+1 gilt,
Ja. es ist zu zeigen, daß unter der Annahme, daß die Induktionsvoraussetzung richtig ist, die Aussage auch für n+1 gilt.
Dazu ist bei der vollständigen Induktion immer ein Rückgriff auf die Voraussetzung notwendig - sonst hat man etwas falsch gemacht, oder einen richtigen Beweis, welcher nicht über vollständige Induktion läuft.
Zunächst einmal ist die Induktionsbehauptung manierlich zu formulieren, was einen u.a. dazu zwingt, sich klarzumachen, was man beweisen möchte.
Ind. Behauptung:
Dann gibt es ein [mm] k_{n+1} [/mm] und ein ungerades [mm] q_{n+1} [/mm] mit
[mm] n+1=2^{k_{n+1}}*q_{n+1}.
[/mm]
> ähnlich wie in Ind. I
Naja...
>
> Darf man das so zerlegen:
>
> n + 1 = [mm]2{k_{n}} \* 2{k_{1}} \* q_{n} \* q_{1}[/mm]
Welche Regeln hast Du hier verwendet?
Was solllen [mm] k_n [/mm] usw. sein, und warum potzblitz! gibt's hier keine Potenzen?
Du mußt, um in Mathe einigermaßen erfolgreich zu sein, sorgfältig arbeiten, sonst machst Du schnell eine Bauchlandung.
Na gut, ich rege mich ab und stelle mir vor, daß Du sowas meinst:
es ist [mm] 1=2^{k_1}q_1 [/mm] mit [mm] k_1=0 [/mm] und [mm] q_1=1, [/mm] und nach
Induktionsvoraussetzung gibt es ein [mm] k_n [/mm] und ein ungerades [mm] q_n [/mm] mit [mm] n=2^nq_n.
[/mm]
Du fragst mich nun, ob Du schreiben darfst, daß
[mm] n+1=$2^{k_{n}} \* 2^{k_{1}} \* q_{n} \* q_{1}$.
[/mm]
Was für eine Frage! es gibt nicht nur einen Unterschied zwischen dem Multiplizieren und Potenzieren, sondern auch zwischen dem Addieren und Multiplizieren...
[mm] n\red{*}1=$2^{k_{n}} \* 2^{k_{1}} \* q_{n} \* q_{1}$ [/mm] wäre natürlich richtig, aber hier verflixt uninteressant.
Richtig wäre [mm] n+1=2^{k_n}q_n \red{+} 2^{k_1}q_1, [/mm] was einen hier nicht die Bohne weiterbringt - eine wertvolle Erkenntnis.
Tip zur Vorgehensweise:
wie erwähnt mußt Du unbedingt die Induktionsvoraussetzung richtig hinschreiben.
mache für den Beweis der Induktionsbehauptung eine fallunterscheidung nach n+1 ungerade und n+1 gerade.
Viel Erfolg!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Do 28.10.2010 | | Autor: | SolRakt |
Sry, aber verstehe irgendwie nicht, wie ich von
n + 1 = [mm] 2^{k_{n} + 1} \* q_{n+1}
[/mm]
eine Fallunterscheidung machen soll.
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> Sry, aber verstehe irgendwie nicht, wie ich von
>
> n + 1 = [mm]2^{k_{n +1}} \* q_{n+1}[/mm]
>
> eine Fallunterscheidung machen soll.
Hallo,
Du sollst für n+1 eine Fallunterscheidung machen danach, ob n+1 gerade oder ungerade ist.
Fall 1: n+1 ungerade
Dann ist n+1= [mm] 2^{...}*(???). [/mm]
Bei ... schreibe eine zahl aus [mm] \IN_0 [/mm] hin, und bei ??? eine ungerade Zahl.
Fall 2: n+1 gerade.
Was ist dann mit [mm] \bruch{n+1}{2}?
[/mm]
Was giltlt. Induktionsvoraussetzung für alle natürlichen zahlen, die [mm] \le [/mm] n sind?
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:02 Di 26.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ja, hab mehrmals nachgeschaut. Die Aufgabe ist wirklich so
> gestellt.
>
> Das Induktionsprinzip bzw. dessen "Schluss" besagt doch
> folgendes:
>
> Wenn die Aussagen A(k) für k [mm]\varepsilon \IN[/mm] mit k [mm]\le[/mm] n
> wahr sind, dann ist auch A(n+1) wahr.
Als IV. hast Du aber etwas anderse geschrieben, nämlich:
" Wenn A(k) für alle k mit k $ [mm] \ge [/mm] $ 0 wahr "
FRED
>
> Also muss man nicht beweisen, dass die Aussagen A(k) sind,
> denn das ist die Voraussetzung. Man müsste im 2.Fall nur
> zeigen, dass A(n+1) gilt. Im ersten Fall ("Anfang") muss
> A(1) gelten. Oder?
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