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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Induktionsbeweis taylorreihe
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Induktionsbeweis taylorreihe: Hilfe/Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:06 Mo 06.01.2014
Autor: Killercat

Aufgabe
Bestimmen sie die Taylorreihe folgender Funktion im Entwicklungspunkt 0
[mm] ln( \frac {1+x}{1-x} ) [/mm]

Hallo,

ich brauche Hilfe beim Induktionsschritt zu oben genannter Aufgabenstellung.
Die k-te Ableitung habe ich bereits herausgefunden,
[mm] f^k(x)= \frac {(-1)^(^k^-^1^) * (k-1)! } {(1+x)^k} - \frac {(-1)*(k-1)! } {(1-x)^k} [/mm]
Jedoch komme ich jetzt beim Induktionsschritt nicht weiter.
Es müsste ja eigentlich rauskommen:
[mm] f^k^+^1(x)= \frac {(-1)^k * (k)! } {(1+x)^k^+^1} - \frac {(-1)*(k)! } {(1-x)^k^+^1} [/mm]

Jedoch stellt das bei mir Probleme da, da ich mir die beiden Zähler nicht zusammenbasteln kann.

Mit freundlichen Grüßen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Induktionsbeweis taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:36 Mo 06.01.2014
Autor: Diophant

Hallo und

[willkommenvh]

> Bestimmen sie die Taylorreihe folgender Funktion im
> Entwicklungspunkt 0
> [mm]ln( \frac {1+x}{1-x} )[/mm]
> Hallo,

>

> ich brauche Hilfe beim Induktionsschritt zu oben genannter
> Aufgabenstellung.
> Die k-te Ableitung habe ich bereits herausgefunden,
> [mm]f^k(x)= \frac {(-1)^(^k^-^1^) * (k-1)! } {(1+x)^k} - \frac {(-1)*(k-1)! } {(1-x)^k}[/mm]

>

Wozu soll denn das Minszeichen zwischen den Brüchen in Verbindung mit der -1 im Zähler des zweiten Bruchs gut sein? Du hast das im Prinzip schon richtig angesetzt, aber

[mm] f^{(k)}(x)=\bruch{(-1)^{k-1}*(k-1)!}{(1+x)^k}+\bruch{(k-1)!}{(1-x)^k} [/mm]

wäre einfacher.

> Jedoch komme ich jetzt beim Induktionsschritt nicht
> weiter.
> Es müsste ja eigentlich rauskommen:
> [mm]f^k^+^1(x)= \frac {(-1)^k * (k)! } {(1+x)^k^+^1} - \frac {(-1)*(k)! } {(1-x)^k^+^1}[/mm]

>

> Jedoch stellt das bei mir Probleme da, da ich mir die
> beiden Zähler nicht zusammenbasteln kann.

>

Das musst du doch nicht. Leite die beiden Brüche der Induktionsvoraussetzung jeweils getrennt ab, dann müsste das schon passen, wenn du alles richtig machst.


Gruß, Diophant 

Bezug
                
Bezug
Induktionsbeweis taylorreihe: Nachfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:36 Mo 06.01.2014
Autor: Killercat

Hallo Diophant und erstmal danke für die Antwort :)

ich hab noch eine Frage bezüglich des Ableitens von k! (und sämtlichen anderen von k abhänigen termen)

Behandel ich das K als zahl oder als variable?
Weil behandel ich es als zahl werden die k-terme 0 beim Ableiten, behandel ich es als variable werden sie ja 1:1 übernommen.

Danke und liebe grüße

Bezug
                        
Bezug
Induktionsbeweis taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:03 Mo 06.01.2014
Autor: chrisno


> Behandel ich das K als zahl oder als variable?

Da Du nach x ableitest, ist nur x die Variable.

>  Weil behandel ich es als zahl werden die k-terme 0 beim
> Ableiten,

falsch

> behandel ich es als variable werden sie ja 1:1
> übernommen.

auch falsch

schau noch mal die Ableitungsregeln an





Bezug
                
Bezug
Induktionsbeweis taylorreihe: Hilfe benötigt
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:12 Di 07.01.2014
Autor: Killercat


>  
> [mm]f^{(k)}(x)=\bruch{(-1)^{k-1}*(k-1)!}{(1+x)^k}+\bruch{(k-1)!}{(1-x)^k}[/mm]
>  
> wäre einfacher.
>  

> Das musst du doch nicht. Leite die beiden Brüche der
> Induktionsvoraussetzung jeweils getrennt ab, dann müsste
> das schon passen, wenn du alles richtig machst.
>  
>
> Gruß, Diophant 

Hallo nochmal,
da ich mich durch die Antworten etwas verunsichert fühle frag ich jetzt einfach nochmal nach. Wenn x meine Variable ist, wie leite ich dann diese k-terme ab? Was passiert mit denen beim ableiten?
[mm]\bruch{(k-1)!}{(1-x)^k}[/mm] wäre da ein gutes Beispiel

Vielen lieben Dank

Bezug
                        
Bezug
Induktionsbeweis taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:22 Di 07.01.2014
Autor: abakus


> >
> >
> [mm]f^{(k)}(x)=\bruch{(-1)^{k-1}*(k-1)!}{(1+x)^k}+\bruch{(k-1)!}{(1-x)^k}[/mm]
> >
> > wäre einfacher.
> >

>

> > Das musst du doch nicht. Leite die beiden Brüche der
> > Induktionsvoraussetzung jeweils getrennt ab, dann müsste
> > das schon passen, wenn du alles richtig machst.
> >
> >
> > Gruß, Diophant 

>

> Hallo nochmal,
> da ich mich durch die Antworten etwas verunsichert fühle
> frag ich jetzt einfach nochmal nach. Wenn x meine Variable
> ist, wie leite ich dann diese k-terme ab? Was passiert mit
> denen beim ableiten?
> [mm]\bruch{(k-1)!}{(1-x)^k}[/mm] wäre da ein gutes Beispiel

>

> Vielen lieben Dank

Hallo,
konstante Summanden werden beim Ableiten zu 0.
Konstante Faktoren bleiben beim Ableiten erhalten.
Ob du nun [mm] $3x^2$ [/mm] oder [mm] $5x^2$ [/mm] oder [mm] $(-1)*x^2$ [/mm] oder [mm] $kx^2$ [/mm] ableitest- die Regel ist die gleiche.
Auch das Ableiten von [mm] $x^3$ [/mm] oder [mm] $x^8$ oder $x^{-4}$ [/mm] unterscheidet sich nicht vom Ableiten von [mm]  $x^k$ [/mm] (falls x jeweils die Variable ist, nach der abgeleitet wird).
Im Beispiel [mm]\bruch{(k-1)!}{(1-x)^k}[/mm] ist (k-1)! ein konstanter Faktor vor dem Term [mm]\bruch{1}{(1-x)^k}[/mm], der auch als [mm] $(1-x)^{-k}$ [/mm] geschrieben werden kann.
Gruß Abakus

 

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Induktionsbeweis taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:05 Mo 06.01.2014
Autor: Sax

Hi,

Alternative :

Entwickle die zwei Brüche aus f'(x) in geometrische Reihen und integriere gliedweise.

Gruß Sax.

Bezug
        
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Induktionsbeweis taylorreihe: Dankeschön
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:00 Di 07.01.2014
Autor: Killercat

Vielen lieben Dank euch allen, habs hingekriegt :)


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Induktionsbeweis taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:42 Di 07.01.2014
Autor: Richie1401

Hi,

auch hier noch eine Möglichkeit:

ln((1+x)/(1-x))=ln(1+x)-ln(1-x)

Die Reihe von ln(1+x) ist meist bekannt und so auch von ln(1-x). Dann bekommt man sehr schnell die gesuchte Reihenentwicklung.

Grüße

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