Induktionsbeweis für Summe < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige per Induktion: Für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt: [mm] \sum^n_{k=1}\bruch{1}{k(k+1)} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n+1}. [/mm] $(*)$ |
Hallo allerseits,
Ich habe beim Stöbern im Buch "Analysis I" von Otto Forster die o.g. Aussage gefunden, die mittels "einfachen Induktionsbeweises" belegbar sein soll (4. Auflage, Seite 24, für alle die, die es genau wissen wollen  ).
An einer Stelle hakt es leider in meinem Beweis.
I.A.: Für 1 ist die Gleichung korrekt (Tipparbeit erspare ich mir mal)
I.V.: Sei also [mm] n\in\IN [/mm] mit $(*)$.
I.S.: Zu zeigen ist: [mm] \sum^{n+1}_{k=1}\bruch{1}{k(k+1)} [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{n+2} [/mm] .
Es gilt: [mm] $\sum^{n+1}_{k=1}\bruch{1}{k(k+1)} [/mm] = [mm] \sum^{n}_{k=1}\bruch{1}{k(k+1)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)(n+2)} [/mm] =_{(I.V.)} [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)(n+2)}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{n(n+2)}{(n+1)(n+2)}+\bruch{1}{(n+1)(n+2)} [/mm] = [mm] \bruch{n^2 + 2n + 1}{n^2 + 2n + n + 2}$
[/mm]
Nun muß jedoch [mm] \bruch{n+1}{n+2} [/mm] herauskommen, um den Induktionsschritt abzuschließen (siehe "zu zeigen").
Was mache ich falsch? Weiß jemand Rat?
Vielen Dank für einen hilfreichen Tipp!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo neuling_hier!
Du hast nichts falsch gemacht. Du solltest im Nenner nur nicht ausmultiplizieren.
Und im Zähler die binomische Formel für [mm] $n^2+2n+1$ [/mm] erkennen. Dann lässt sich nämlich wunderbar kürzen.
Gruß
Loddar
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Hallo,
ich danke Dir für die schnelle Antwort! Ich hab's mit Deiner Hilfe hinbekommen, es gilt also (nur der Vollständigkeit halber):
[mm] $\bruch{n(n+2)}{(n+1)(n+2)}+\bruch{1}{(n+1)(n+2)} [/mm] = [mm] \bruch{n^2 + 2n+1}{(n+1)(n+2)} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)} [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{n+2}$ [/mm] .
Eigentlich wirklich einfach, wenn man sofort darauf kommt
Danke nochmal!!
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