www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Differenzialrechnung" - Induktionsbeweis
Induktionsbeweis < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differenzialrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Induktionsbeweis: Erklärung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:26 Di 13.09.2005
Autor: Asuka_04

Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich habe eine Frage zur Vollständigen Induktion.
Die Aufgabe lautet "Gesucht ist eine Formel für die Berechnung der Summe der ersten n durch 4 teilbaren natürlichen Zahlen, d.h. 4+8+12+...+4n."
Da muss der Induktionsbeweis durch geführt werden.

Folgende Tabelle habe ich mir als erstes gemacht:

n       1     2      3    4    5   n
a(n)    4     8     12   16   20   4n
s(n)    4    12     24   40   60  

Nur durch ewiges Probieren bin ich auf die Summenformel: 2n(n+1) gekommen. Gibt es einen Weg, wie man durch rechnen auf diese Formel kommt?

Dann würde ich gerne noch wissen, ob diese Schritte richtig sind, und ob das Ergebnis auch korrekt ist, da ich mir unsicher bin.

[Induktionsanfang:] A (n=1)
s(1) = 4 = 2*n(n+1) = 2*1 (1+1) = 4  w.A.

[Induktionsvorraussetzung:] A(n=k)
s(k) = 4 + 8 + 12 + ... + 4k = 2k(k+1)   sei wahr

[Induktionsbehauptung:] A (n=k+1)
s(k) = 4 + 8 + 12 + ...+4k + k+1 = 2k² + 3k + 1

[Induktionsbeweis:]
4 + 8 + 12 + ... 4k = 2k (k+1)   | + (k+1)
       s(k) + k + 1 = 2k² + 3k + 1
      2k(k+1) + k+1 = 2k² + 3k + 1
       2k² + 3k + 1 = 2k² + 3k + 1   was zu beweisen war (w.z.b.w.)


        
Bezug
Induktionsbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:30 Di 13.09.2005
Autor: Stefan

Hallo!

Der Induktionsbeweis ist nicht ganz in Ordnung, darauf kann ja noch mal jemand eingehen (mir fehlt die Zeit). Ich möchte nur deine andere Frage beantworten:

> Nur durch ewiges Probieren bin ich auf die Summenformel:
> 2n(n+1) gekommen. Gibt es einen Weg, wie man durch rechnen
> auf diese Formel kommt?

Ja, klar, wenn man die Summenformel

[mm] $1+2+\ldots [/mm] + n = [mm] \sum\limits_{i=1}^n [/mm] i = [mm] \frac{n(n+1)}{2}$ [/mm]

kennt. Dann folgt nämlich:

$4+8+ [mm] \ldots [/mm] + 4n = [mm] \sum\limits_{i=1}^n [/mm] 4i = 4 [mm] \sum\limits_{i=1}^n [/mm] = 4 [mm] \cdot \frac{n(n+1)}{2} [/mm] = 2n(n+1)$.

Liebe Grüße
Stefan
  
Bezug
        
Bezug
Induktionsbeweis: zum Induktionsbeweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:47 Di 13.09.2005
Autor: Loddar

Hallo Asuka,


[willkommenmr] !!


> [Induktionsanfang:] A (n=1)
> s(1) = 4 = 2*n(n+1) = 2*1 (1+1) = 4  w.A.

[ok]

  
> [Induktionsvorraussetzung:] A(n=k)
> s(k) = 4 + 8 + 12 + ... + 4k = 2k(k+1)   sei wahr

[ok]

  
> [Induktionsbehauptung:] A (n=k+1)
> s(k) = 4 + 8 + 12 + ...+4k + k+1 = 2k² + 3k + 1

[notok]

Hier muss es heißen:

[mm] $s(k\red{+1}) [/mm] \ = \ 4 + 8 + 12 + ... + 4k + [mm] \red{4}*(k+1) [/mm] \ = \ 2*(k+1)*(k+2)$



> [Induktionsbeweis:]
>  4 + 8 + 12 + ... 4k = 2k (k+1)   | + (k+1)
>         s(k) + k + 1 = 2k² + 3k + 1
>        2k(k+1) + k+1 = 2k² + 3k + 1
>         2k² + 3k + 1 = 2k² + 3k + 1

[notok] Hier musst du auch anders vorgehen:

$s(k+1) \ = \ [mm] \blue{4 + 8 + 12 + ... + 4k} [/mm] + [mm] \green{4*(k+1)} [/mm] \ = \ [mm] \blue{s(k)} [/mm] + [mm] \green{4*(k+1)} [/mm] \ = \ [mm] \blue{2k*(k+1)} [/mm] + [mm] \green{4*(k+1)} [/mm] \ = \ ...$

Wenn Du nun mal $(k+1)_$ ausklammerst, hast Du auch bald Dein gewünschtes Ergebnis mit $... \ = \ 2*(k+1)*(k+2)$ .


Gruß
Loddar

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differenzialrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]