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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 Sa 17.10.2009 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | Beweise mit vollständiger Induktion:
[mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^k*\vektor{n\\k}}{a+k}=\bruch{n!}{a(a+1)(a+2)...(a+n)}.
[/mm]
(a ist keine 0 oder negative ganze Zahl) |
Hi Leute!
Bei dieser Aufgabe stecke ich irgendwie fest.
Ich habe schon alle mir bekannten Tricks versucht. Summe ausschreiben, Binomialkoeffizient aufteilen, Indexverschiebung.
Aber es half alles nichts, außer ich übersehe etwas wirklich sehr einfaches.
Induktionsanfang ist klar, für n=0 gilt das.
Dann muss ich ja eben nur den Induktionsschritt vollführen.
[mm] \summe_{k=0}^{n+1}\bruch{(-1)^k*\vektor{n+1\\k}}{a+k}=\bruch{(n+1)!}{a(a+1)(a+2)...(a+n)(a+n+1)}
[/mm]
Dort habe ich eben schon versucht unter anderem mit [mm] \vektor{n+1\\k}=\vektor{n\\k}+\vektor{n\\k-1} [/mm] zu arbeiten, was mir aber nicht half, da ich [mm] \vektor{n\\k-1} [/mm] nicht vernünftig auf irgendwas mit [mm] \vektor{n\\k} [/mm] zurück zu führen (ich erschaffe dabei neue k).
Und mit Indexverschiebung (k*=k+1) steht dann im Nenner a+k+1, was mir auch alles kaputt macht.
Wenn ich dann die Induktionsvoraussetzung verwende, kann ich auch
[mm] \summe_{k=0}^{n+1}\bruch{(-1)^k*\vektor{n+1\\k}}{a+k}=\bruch{n+1}{a+n+1}*\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^k*\vektor{n\\k}}{a+k} [/mm] daraus machen, aber wenn ich die Summen komplett ausschreibe, sehe ich da auch nichts hilfreiches.
Ich weiß, dass die Formel stimmt und wie man auf sie kommt, aber ich kann sie nicht mit Induktion beweisen. Wisst ihr da weiter?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Sa 17.10.2009 | | Autor: | luis52 |
> Dort habe ich eben schon versucht unter anderem mit
> [mm]\vektor{n+1\\k}=\vektor{n\\k}+\vektor{n\\k-1}[/mm] zu arbeiten,
> was mir aber nicht half, da ich [mm]\vektor{n\\k-1}[/mm] nicht
> vernünftig auf irgendwas mit [mm]\vektor{n\\k}[/mm] zurück zu
> führen (ich erschaffe dabei neue k).
Ich finde diese Idee nicht schlecht. Habe das mal etwas genauer aufgeschrieben, und ich vermute, dass dir ein Summand Kopfzerbrechen bereitet:
[mm] $\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{a+k}\binom{n}{k-1}=\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^k}{a+k}\binom{n}{k-1}=-\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1}}{(a+1)+(k-1)}\binom{n}{k-1}$.
[/mm]
Nutze nun die IV erneut aus.
Hoffentlich hilft's.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:12 So 18.10.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, hat geholfen, danke für den Tipp. Habe es nur verschlampt, die entstehende +1 bei der Indexverschiebung einfach dem a zuzuschreiben. Wenigstens weiß ich das nun für das nächste mal. Ich muss wohl noch etwas innovativer werden. :P
Wie auch immer, danke und gute Nacht.
Teufel
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