Induktion und zwei Variable < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | n [mm] \in \IN \setminus [/mm] {0}
k [mm] \in \IN
[/mm]
Beweise:
[mm] \vektor{n \\ k} \* \bruch{1}{n^{k}} \le \bruch{1}{k!} [/mm] |
Hey :)
Ich möchte das durch Induktion beweisen.
Meine Frage ist, ob ich nach n oder nach k induzieren soll??????
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> n [mm]\in \IN \setminus[/mm] {0}
> k [mm]\in \IN[/mm]
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> Beweise:
> [mm]\vektor{n \\ k} \* \bruch{1}{n^{k}} \le \bruch{1}{k!}[/mm]
> Hey
> :)
>
> Ich möchte das durch Induktion beweisen.
>
> Meine Frage ist, ob ich nach n oder nach k induzieren
> soll??????
Setze erstmal die Definition für [mm] $\binom{n}{k}$ [/mm] ein, dann sollstest du schon mal was kürzen können. Gucke dann am besten selber mal, ob Induktion dann noch sinnvoll ist/ob du dann weißt, ob nach n oder nach k. Außerdem: Ist [mm] $k\leqslant [/mm] n$ ebenfalls vorausgesetzt? (Ansonsten gäbs nämlich ein Problem mit [mm] $\binom{n}{k}$). [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:27 Di 23.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo weisseLilie,
in der Tat ist hier Induktion nicht nötig. Falls du dennoch mit Induktion arbeiten möchtest, kannst du die Aussage für festes n für alle [mm] $0\le k\le [/mm] n$ per Induktion nach k zeigen. Den Fall k>n solltest du separat betrachten.
Viele Grüße
Tobias
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Hallo weisseLilie,
da lohnt sich noch eine dritte Antwort. 
> n [mm]\in \IN \setminus[/mm] {0}
> k [mm]\in \IN[/mm]
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> Beweise:
> [mm]\vektor{n \\
k} \* \bruch{1}{n^{k}} \le \bruch{1}{k!}[/mm]
> Hey
> :)
>
> Ich möchte das durch Induktion beweisen.
Da schließe ich mich den anderen an: warum bloß?
> Meine Frage ist, ob ich nach n oder nach k induzieren
> soll??????
Anders als tobit vorschlägt, kannst Du auch für beliebiges (aber festes) k den Induktionsanfang bei n=k setzen und dann nach n induzieren.
Das geht allerdings ziemlich genauso wie die direkte Lösung, die Lustique andeutet: ersetze den Binomialkoeffizienten durch die Berechnungsformel, multipliziere beide Seiten der Ungleichung mit [mm] k!*(n-k)!*n^k [/mm] - und dann zähle mal auf beiden Seiten die Faktoren und vergleiche sie einzeln miteinander.
Ach, und der Fall k>n ist schnell geklärt. Bei den verallgemeinerten Binomialkoeffizienten wird für $k>n$ ja [mm] \vektor{n\\k}=0 [/mm] definiert.
Grüße
reverend
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Vielen Dank, ich denke, dass ich´s jetzt verstanden habe :)
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