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| Aufgabe | | [mm] 1^{3}+2^{3}+...+n^{3} [/mm] = [mm] (1+2+...+n)^{2} [/mm] |
Hallo,
häng bei dieser Aufgabe. Bin auf folgendes gekommen:
Induktionsanfang: n=1
Induktionsannahme: [mm] \summe_{i=1}^{n}i^{3} [/mm] = [mm] (\summe_{i=1}^{n}i)^{2}
[/mm]
Induktionsschritt:
1) [mm] \summe_{i=1}^{n}i^{3}+(n+1)^{3} [/mm] = [mm] ((\summe_{i=1}^{n}i)+(n+1))^{2}
[/mm]
2) [mm] \summe_{i=1}^{n}i^{3}+(n+1)^{3} [/mm] = [mm] (\summe_{i=1}^{n}i)^{2}+(n+1)^{3}
[/mm]
Ich hab ziemlich lang herumprobiert, konnte aber auf kein sinnvolles Ergebnis kommen. Folgendes habe ich u.a. versucht:
Die rechte Seite von Punkt 1) habe ich auf die folgende Art und Weise aufgelöst: [mm] a^{2}+2ab+b^{2}. [/mm] Aber das war's auch schon, hab versucht noch ev. zu vereinfachen, aber das war nicht drin.
Bitte um Antworten, Hilfe, etc.
Freue mich von euch zu hören.
Gruß, Hannes
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:42 Mo 09.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Hannes
> [mm]1^{3}+2^{3}+...+n^{3}[/mm] = [mm](1+2+...+n)^{2}[/mm]
> Induktionsanfang: n=1
> Induktionsannahme: [mm]\summe_{i=1}^{n}i^{3}[/mm] =
> [mm](\summe_{i=1}^{n}i)^{2}[/mm]
> Induktionsschritt:
>
> 1) [mm]\summe_{i=1}^{n}i^{3}+(n+1)^{3}[/mm] =
> [mm]((\summe_{i=1}^{n}i)+(n+1))^{2}[/mm]
> 2) [mm]\summe_{i=1}^{n}i^{3}+(n+1)^{3}[/mm] =
> [mm](\summe_{i=1}^{n}i)^{2}+(n+1)^{3}[/mm]
>
> Ich hab ziemlich lang herumprobiert, konnte aber auf kein
> sinnvolles Ergebnis kommen. Folgendes habe ich u.a.
> versucht:
>
> Die rechte Seite von Punkt 1) habe ich auf die folgende Art
> und Weise aufgelöst: [mm]a^{2}+2ab+b^{2}.[/mm]
Genau die richtige Idee aber du musst verwenden ,dass du [mm] (\summe_{i=1}^{n}i)=1/2*n*(n+1) [/mm] kennst (oder das mit vollst. Induktion beweisen!) dann hast du
[mm]((\summe_{i=1}^{n}i)+(n+1))^{2}[/mm]=[mm](\summe_{i=1}^{n}i)^2+2*(n+1)*1/2*n*(n+1)+(n+1)^2[/mm]
und die 2 Terme hinten ergeben [mm] (n+1)^{3} [/mm] ( [mm] (n+1)^{2} [/mm] ausklammern!)
Gruss leduart
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