Induktion mit 2variabeln < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Do 13.11.2008 | | Autor: | bene88 |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
a,b [mm] \in \IR [/mm] und n [mm] \in \IN. [/mm] beweise:
[mm] (a+b)^n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \pmat{ n \\ k } a^{n-k} b^k [/mm] |
mein ansatz:
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} \pmat{ n+1 \\ k } a^{n+1-k} b^k
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{n} \pmat{ n \\ k } a^{n-k} b^k [/mm] + [mm] \pmat{ n+1 \\ k } a^{n+1-k} b^k
[/mm]
[mm] =(a+b)^n [/mm] + [mm] \pmat{ n+1 \\ n+1 } a^{n+1-n-1} b^{n+1} [/mm]
[mm] =(a+b)^n [/mm] + [mm] a\* b^{n+1}
[/mm]
ich sehe nicht, wie ich hier auf die form [mm] (a+b)^{n+1} [/mm] kommen soll...
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Induktionsanfang n=0: 1=1 wahr.
Induktionsvoraussetzung:
[mm] (a+b)^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \pmat{ n \\ k } a^{n-k} b^{k}
[/mm]
Induktionsschluss:
[mm] (a+b)^{n+1} [/mm] = (a+b) * [mm] (a+b)^{n}, [/mm] nun Induktionsvoraussetzung:
= (a+b) * [mm] \summe_{k=0}^{n} \pmat{ n \\ k } a^{n-k} b^{k}
[/mm]
Nun a bzw. b in die Summe hereinnehmen, Index anpassen, Additionstheorem der Binomialkoeffizienten verwenden und fertig!
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