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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Sa 21.03.2009 | | Autor: | Hanz |
| Aufgabe | | Sei [mm] g:\IR \to \IR [/mm] beliebig oft differenzierbar und f: [mm] \IR \to \IR [/mm] , [mm] f(x)=e^x \cdot [/mm] g(x). Zeige, dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt [mm] f^{(n)}(x)=e^x \cdot [\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} \cdot g^{(k)}(x)]. [/mm] |
Hi,
mit dieser Induktionsaufgabe habe ich so meine Schwierigkeiten, da ein Summenzeichen in Verbindung mit dem Binomialkoeffizienten mir Angst macht =p
Teilweise konnte ich es selbst lösen, aber einige Rechenschritte habe ich dann der Lösung entnommen, die ich aber nicht ganz nachvollziehen kann.
Deshalb versuche ich es nun erklärend aufzuschreiben, damit man besser sieht, wo meine Probleme liegen.
Den Induktionsanfang lasse ich Mal weg, da er sehr einfach ist.
Induktionsschluss: n [mm] \to [/mm] n+1
Zu zeigen: [mm] f^{(n+1)}(x)=e^x \cdot [\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1 \\ k} \cdot g^{(k)}(x)] [/mm] unter der Induktionsvorraussetzung, dass es für ein n schon bewiesen wurde.
[mm] f^{(n+1)}(x) [/mm] = [mm] [f^{(n)}(x)]' [/mm] = [mm] [e^x \cdot [\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} \cdot g^{(k)}(x)]]'
[/mm]
[mm] \overbrace{=}^{(1)}e^x \cdot \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} \cdot g^{(k)}(x) [/mm] + [mm] e^x \cdot \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} \cdot g^{(k+1)}(x) [/mm] Hier wurde die Produktregel angewendet
[mm] \overbrace{=}^{(2)}e^x [\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} \cdot g^{(k)}(x) +\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} \cdot g^{(k+1)}(x)] [/mm] Hier wurde [mm] e^x [/mm] ausgeklammert.
So, nun folgt ein Schritt, den ich nicht ganz nachvollziehen kann:
[mm] \overbrace{=}^{(3)}e^x [g(x)+\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k} \cdot g^{(k)}(x) +\summe_{k=0}^{n-1}\vektor{n \\ k} \cdot g^{(k+1)}(x) [/mm] + [mm] g^{(k+1)}(x)]
[/mm]
Hier wurde bei der "linken" Summe doch der Summand [mm] g^{(0)}(x) [/mm] aus der Summe gezogen, deshalb beginnt k nicht mehr bei Null, sondern bei Eins. Was genau wurde bei der "rechten" Summe gemacht, dass da n-1 steht?
[mm] \overbrace{=}^{(4)}e^x [g(x)+\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k} \cdot g^{(k)}(x) +\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k-1} \cdot g^{(k)}(x) [/mm] + [mm] g^{(k+1)}(x)]
[/mm]
Die "linke" Summe bleibt hier ja unverändert, welche Rechenschritte und Techniken wurden bei der "rechten" Summe angewendet? Was wurde genau in den Binomialkoeffizienten gezogen?
[mm] \overbrace{=}^{(5)}e^x [g(x)+\summe_{k=1}^{n}(\vektor{n \\ k}+\vektor{n \\ k-1}) \cdot g^{(k)}(x) [/mm] + [mm] g^{(k+1)}(x)] [/mm] Hier wurden die Summen zusammengezogen
[mm] \overbrace{=}^{(6)}e^x [\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1 \\ k} \cdot g^{(k)}(x)]
[/mm]
Hier wurde g(x) wieder in die Summe zurück getan, d.h. k=0 liegt im Summenzeichen wieder vor. Die Binomialkoeffizienten wurden mittels Rekursionsformel verrechnet. Aber warum verändert der Summand [mm] g^{(k+1)}(x) [/mm] (der auf in die Summe verrechnet wurde) den Index zu n+1?
Ich wäre seeeeeeehr Dankbar für verständliche Begründungen, weil mir einige, wahrscheinlich logische Umformungen, immernoch nicht klar sind!
// Hanz
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Hallo Hanz,
> Sei [mm]g:\IR \to \IR[/mm] beliebig oft differenzierbar und f: [mm]\IR \to \IR[/mm]
> , [mm]f(x)=e^x \cdot[/mm] g(x). Zeige, dass für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt
> [mm]f^{(n)}(x)=e^x \cdot [\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} \cdot g^{(k)}(x)].[/mm]
>
> Hi,
> mit dieser Induktionsaufgabe habe ich so meine
> Schwierigkeiten, da ein Summenzeichen in Verbindung mit dem
> Binomialkoeffizienten mir Angst macht =p
>
> Teilweise konnte ich es selbst lösen, aber einige
> Rechenschritte habe ich dann der Lösung entnommen, die ich
> aber nicht ganz nachvollziehen kann.
> Deshalb versuche ich es nun erklärend aufzuschreiben,
> damit man besser sieht, wo meine Probleme liegen.
>
> Den Induktionsanfang lasse ich Mal weg, da er sehr einfach
> ist.
>
> Induktionsschluss: n [mm]\to[/mm] n+1
> Zu zeigen: [mm]f^{(n+1)}(x)=e^x \cdot [\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1 \\ k} \cdot g^{(k)}(x)][/mm]
> unter der Induktionsvorraussetzung, dass es für ein n schon
> bewiesen wurde.
>
> [mm]f^{(n+1)}(x)[/mm] = [mm][f^{(n)}(x)]'[/mm] = [mm][e^x \cdot [\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} \cdot g^{(k)}(x)]]'[/mm]
>
> [mm]\overbrace{=}^{(1)}e^x \cdot \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} \cdot g^{(k)}(x)[/mm]
> + [mm]e^x \cdot \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} \cdot g^{(k+1)}(x)[/mm]
> Hier wurde die Produktregel angewendet
>
> [mm]\overbrace{=}^{(2)}e^x [\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} \cdot g^{(k)}(x) +\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} \cdot g^{(k+1)}(x)][/mm]
> Hier wurde [mm]e^x[/mm] ausgeklammert.
>
> So, nun folgt ein Schritt, den ich nicht ganz
> nachvollziehen kann:
> [mm]\overbrace{=}^{(3)}e^x [g(x)+\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k} \cdot g^{(k)}(x) +\summe_{k=0}^{n-1}\vektor{n \\ k} \cdot g^{(k+1)}(x)[/mm]
> + [mm]g^{(k+1)}(x)][/mm]
Hier muß es doch heißen:
[mm]\overbrace{=}^{(3)}e^x [g(x)+\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k} \cdot g^{(k)}(x) +\summe_{k=0}^{n-1}\vektor{n \\ k} \cdot g^{(k+1)}(x)
+ g^{(\red{n}+1)}(x)][/mm]
> Hier wurde bei der "linken" Summe doch der Summand
> [mm]g^{(0)}(x)[/mm] aus der Summe gezogen, deshalb beginnt k nicht
> mehr bei Null, sondern bei Eins. Was genau wurde bei der
> "rechten" Summe gemacht, dass da n-1 steht?
Nun, aus der "rechten" Summe wurde [mm]g^{n+1}\left(x\right)[/mm] gezogen.
>
> [mm]\overbrace{=}^{(4)}e^x [g(x)+\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k} \cdot g^{(k)}(x) +\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k-1} \cdot g^{(k)}(x)[/mm]
> + [mm]g^{(k+1)}(x)][/mm]
> Die "linke" Summe bleibt hier ja unverändert, welche
> Rechenschritte und Techniken wurden bei der "rechten" Summe
> angewendet? Was wurde genau in den Binomialkoeffizienten
> gezogen?
Ausgehend von
[mm]\overbrace{=}^{(3)}e^x [g(x)+\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k} \cdot g^{(k)}(x) +\summe_{k=0}^{n-1}\vektor{n \\ k} \cdot g^{(k+1)}(x)
+ g^{(n+1)}(x)][/mm]
Damit wir das verarzten können,
setzen wir in der "linken Summe" l=k,
und in der "rechten Summe" l=k+1, dann steht da:
[mm]\overbrace{=}^{(3)}e^x [g(x)+\summe_{l=1}^{n}\vektor{n \\ l} \cdot g^{(l)}(x) +\summe_{l=1}^{n}\vektor{n \\ l-1} \cdot g^{(l)}(x)
+ g^{(n+1)}(x)][/mm]
Nun, kannst Du das l wieder in k umbenennen:
[mm]\overbrace{=}^{(4)}e^x [g(x)+\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k} \cdot g^{(k)}(x) +\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k-1} \cdot g^{(k)}(x)
+ g^{(n+1)}(x)][/mm]
>
> [mm]\overbrace{=}^{(5)}e^x [g(x)+\summe_{k=1}^{n}(\vektor{n \\ k}+\vektor{n \\ k-1}) \cdot g^{(k)}(x)[/mm]
> + [mm]g^{(k+1)}(x)][/mm] Hier wurden die Summen zusammengezogen
>
> [mm]\overbrace{=}^{(6)}e^x [\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1 \\ k} \cdot g^{(k)}(x)][/mm]
>
> Hier wurde g(x) wieder in die Summe zurück getan, d.h. k=0
> liegt im Summenzeichen wieder vor. Die
> Binomialkoeffizienten wurden mittels Rekursionsformel
> verrechnet. Aber warum verändert der Summand [mm]g^{(k+1)}(x)[/mm]
> (der auf in die Summe verrechnet wurde) den Index zu n+1?
>
Das ist ein Fehler (siehe oben) in der Musterlösung.
>
> Ich wäre seeeeeeehr Dankbar für verständliche Begründungen,
> weil mir einige, wahrscheinlich logische Umformungen,
> immernoch nicht klar sind!
>
> // Hanz
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Sa 21.03.2009 | | Autor: | Hanz |
Hmmm, den Rechenschritt mit k=l bzw. k+1=l zu setzten verstehe ich nun wie man das umgeformt hat. Allerdings ist es mir noch nicht so ganz klar, warum man das machen muss/kann?
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Hallo Hanz,
> Hmmm, den Rechenschritt mit k=l bzw. k+1=l zu setzten
> verstehe ich nun wie man das umgeformt hat. Allerdings ist
> es mir noch nicht so ganz klar, warum man das machen
> muss/kann?
In der "linken Summe" treten die Ableitungen [mm]g^{\left(1\right)}, \ \cdots \ , g^{\left(n\right)}[/mm] auf.
Diese Ableitungen treten auch in der "rechten Summe" auf.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Sa 21.03.2009 | | Autor: | Hanz |
Ganz verstanden habe ich es leider imernoch nicht :s
Nun, kannst Du das l wieder in k umbenennen:
$ [mm] \overbrace{=}^{(4)}e^x [g(x)+\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k} \cdot g^{(k)}(x) +\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k-1} \cdot g^{(k)}(x) [/mm] + [mm] g^{(n+1)}(x)] [/mm] $
Beim "Umbenennen" des k in l ging es doch darum, die Summen "gleich zu machen", damit man daraus eine Summe machen kann. Anstatt zu sagen wir setzen l=k+1, könnte man doch sagen man reduziert alle k's um 1 bei der rechten Summe, oder? Mir ist nämlich nicht ganz klar warum das k=0 zu k=1 in der Summe wird :s
Nochmals allgemein zum Summenzeichen: [mm] \summe_{k=0}^{n}a_k
[/mm]
Man sagt ja die Summe geht von k bis n, also [mm] a_0+a_1+a_2+...+a_n.
[/mm]
Ziehe ich das erste Summenglied raus, so beginnt der Laufindex k logischerweise erst bei 1, also [mm] a_0+\summe_{k=1}^{n}a_k.
[/mm]
Das n ist doch quasi meine obere Grenze bis zu der aufsummiert wird. Ich verstehe nicht, warum man ein Summanden mit dem Index n herausziehen kann (in der Aufgabe [mm] g^{(n+1)}(x)) [/mm] und dann die Summe zu [mm] \summe_{k=0}^{n-1} [/mm] wird? Oder Habe ich das so zu verstehen, dass ich quasi vom "Ende" der Summanden einen wegnehme und ihn dann hinten drauf addiere? Warum heißt es dann aber nicht nur [mm] g^{(n)}(x)?
[/mm]
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Hallo Hanz,
> Ganz verstanden habe ich es leider imernoch nicht :s
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> Nun, kannst Du das l wieder in k umbenennen:
>
> [mm]\overbrace{=}^{(4)}e^x [g(x)+\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k} \cdot g^{(k)}(x) +\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k-1} \cdot g^{(k)}(x) + g^{(n+1)}(x)][/mm]
>
> Beim "Umbenennen" des k in l ging es doch darum, die Summen
> "gleich zu machen", damit man daraus eine Summe machen
> kann. Anstatt zu sagen wir setzen l=k+1, könnte man doch
> sagen man reduziert alle k's um 1 bei der rechten Summe,
> oder? Mir ist nämlich nicht ganz klar warum das k=0 zu k=1
> in der Summe wird :s
>
Das Ziel ist, daß die Summen den gleichen Start- und Endwert habn
Und den Startwert kannst Du zumindest wählen, ob dieser jetzt 0 oder 1 ist,
ist im Prinzip egal.
Wenn Du aber den Startwert 0 wählst, dann mußt Du aber die linke Summe entsprechen anpassen.
>
> Nochmals allgemein zum Summenzeichen: [mm]\summe_{k=0}^{n}a_k[/mm]
> Man sagt ja die Summe geht von k bis n, also
> [mm]a_0+a_1+a_2+...+a_n.[/mm]
>
> Ziehe ich das erste Summenglied raus, so beginnt der
> Laufindex k logischerweise erst bei 1, also
> [mm]a_0+\summe_{k=1}^{n}a_k.[/mm]
>
> Das n ist doch quasi meine obere Grenze bis zu der
> aufsummiert wird. Ich verstehe nicht, warum man ein
> Summanden mit dem Index n herausziehen kann (in der Aufgabe
> [mm]g^{(n+1)}(x))[/mm] und dann die Summe zu [mm]\summe_{k=0}^{n-1}[/mm]
> wird? Oder Habe ich das so zu verstehen, dass ich quasi vom
> "Ende" der Summanden einen wegnehme und ihn dann hinten
> drauf addiere? Warum heißt es dann aber nicht nur
> [mm]g^{(n)}(x)?[/mm]
Nun, [mm]g^{\left(0}\right)}\left(x\right)[/mm] taucht in der rechten Summe nicht auf.
Und [mm]g^{\left(n+1}\right)}\left(x\right)[/mm] taucht in der linken Summe nicht auf.
Deshalb zieht man die aus den entsprechenden Summen heraus.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:04 So 22.03.2009 | | Autor: | Hanz |
Achso! Danke nun habe ich die Aufgabe verstanden!
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