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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:36 Fr 29.01.2010 | | Autor: | johnyan |
| Aufgabe | Finden Sie eine Formel für
[mm] \integral_{0}^{\infty}{x^n*e^{-x} dx} [/mm] , [mm] n\in\IN
[/mm]
(Tip: Beweis durch Induktion). |
Also eine Formel dafür hab ich schon mal gefunden, hoffe jedenfalls, dass sie richtig ist.
[mm] $\integral_{0}^{\infty}{x^n*e^{-x} dx} [/mm] = [mm] \left[\summe_{k=0}^{n} -e^{-x}*(x^n)^{(k)}\right]^\infty_0 [/mm] = n!$
nun hänge ich beim induktionsbeweis. induktionsanfang ist klar, aber dann beim induktionsschritt weiß ich nicht so genau, wie ich da vorgehen sollte. konkret weiß ich nicht genau, an welcher stelle ich meine Induktionsvoraussetzung einsetzen kann, wenn ich an der stelle bin
n [mm] \rightarrow [/mm] n+1
[mm] \integral_{0}^{\infty}{x^{n+1}*e^{-x} dx}=\integral_{0}^{\infty}{x^{n}*x*e^{-x} dx}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:44 Fr 29.01.2010 | | Autor: | chrisno |
partielle Integration?
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Hallo,
chrisno hat es bereits bemerkt: Du benötigst partielle Integration.
> n [mm]\rightarrow[/mm] n+1
>
> [mm][mm] \integral_{0}^{\infty}{x^{n+1}*e^{-x} dx}
[/mm]
Versuche nun partielle Integration mit v = [mm] x^{n+1}, [/mm] u' = [mm] e^{-x}.
[/mm]
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Fr 29.01.2010 | | Autor: | johnyan |
aso, ja, hab nicht daran gedacht, dass ich auch mit einem nicht festen n integrieren kann.
[mm] \integral_{0}^{\infty}{x^{n+1}\cdot{}e^{-x} dx}
[/mm]
[mm] =\left[-e^{-x}*x^{n+1}\right]_{0}^{\infty}+\integral_{0}^{\infty}{(n+1)x^{n}\cdot{}e^{-x} dx}
[/mm]
[mm] =\left[\bruch{-x^{n+1}}{e^{x}}\right]_{0}^{\infty}+\integral_{0}^{\infty}{nx^{n}\cdot{}e^{-x} dx}+\integral_{0}^{\infty}{1x^{n}\cdot{}e^{-x} dx}
[/mm]
[mm] =(I.V.)\left[\bruch{-x^{n+1}}{e^{x}}\right]_{0}^{\infty}+n*n!+n!
[/mm]
=0+(n+1)n!=(n+1)!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:00 Sa 30.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig.
Gruss leduart
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