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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Mi 23.11.2005 | | Autor: | fvs |
Hallo, ich habe ein Problem!
Zeigen Sie per Induktion, dass
[mm] n^{3} \le [/mm] 7* [mm] 2^{n} [/mm] für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Ich habe mir da schon einmal Gedanken gemacht und den Induktionsanfang für n=0 (weil mein Matheprof [mm] \IN [/mm] mit Null definiert) getätigt.
[mm] n^{3} \le [/mm] 7* [mm] 2^{n}
[/mm]
[mm] 0^{3} \le [/mm] 7* [mm] 2^{0}
[/mm]
0 [mm] \le [/mm] 7.
Aber der Induktionsschritt bereitet mir Kopfschmerzen. Der Anfang lautet:
[mm] (n+1)^{3} \le [/mm] 7* [mm] 2^{n+1}
[/mm]
und nun???? Ich komme weder mit Umformen noch mit Logarethmieren weiter. Kann mir jemand helfen?
Ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Mi 23.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo fvs!
> Aber der Induktionsschritt bereitet mir Kopfschmerzen. Der
> Anfang lautet:
>
> [mm](n+1)^{3} \le[/mm] 7* [mm]2^{n+1}[/mm]
Beginne mit [mm] $(n+1)^3$ [/mm] , multipliziere diese Klammer aus, wende auf den Term [mm] $n^3$ [/mm] die Induktionsvoraussetzung [mm] $n^3 \le 7*2^n$ [/mm] an und schätze den Restterm ab (z.B. gegen [mm] $n^3$ [/mm] ...  ).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Mi 23.11.2005 | | Autor: | fvs |
Hallo,
vielen Dank für die schnelle Antwort, ich habe es ausmultipliziert und nun steht dort folgendes auf meinem Blatt:
[mm] n^{3}+ 3n^{2}+ [/mm] 3n+1 [mm] \le 7*2^{n+1}
[/mm]
Wie es weitergehen soll, verstehe ich aber nicht. Wie soll ich denn nun die Induktionsvorraussetzung in diesen Term integrieren und was soll ich schätzen??? Seit wann ist schätzen ein Beweis???
Über einen weiteren Tipp würde ich mich freuen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:43 Mi 23.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo fvs!
> Seit wann ist schätzen ein Beweis???
Abschätzen ... das geht (fast) immer bei Beweisen mit Ungleichungen, wo ich gewisse Terme durch kleinere (oder größere je nachdem, wie rum der Beweis geht ) ersetze.
> Über einen weiteren Tipp würde ich mich freuen.
Na, denn ...
Zunächst wende ich die o.g. Induktionsvoraussetzung an:
[mm] $\red{n^3} [/mm] \ + \ [mm] \blue{3n^2 \ + \ 3n \ + \ 1} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \red{7*2^n} [/mm] \ + \ [mm] \blue{3n^2 \ + \ 3n \ + \ 1}$
[/mm]
Und für den blauen Restterm kann ich für $n \ [mm] \ge [/mm] \ 4$ sagen:
[mm] $3n^2 [/mm] + 3n + 1 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] n^3$
[/mm]
Ich erhalte also:
[mm] $\red{7*2^n} [/mm] \ + \ [mm] \blue{3n^2 \ + \ 3n \ + \ 1} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] 7*2^n [/mm] + \ [mm] \red{n^3}$
[/mm]
Und auch auf für dieses [mm] $n^3$ [/mm] gilt selbstverständlich meine Induktionsvoarussetzung:
[mm] $7*2^n [/mm] + \ [mm] \red{n^3} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] 7*2^n [/mm] + \ [mm] \red{7*2^n} [/mm] \ = \ ...$
Schaffst Du den letzten Schritt nun selber?
Streng genommen musst Du den Induktionanfang nun bis $n \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \red{3}$ [/mm] führen, da ja obige Abschätzung erst für $n \ [mm] \ge [/mm] \ 4$ gültig ist.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Mi 23.11.2005 | | Autor: | fvs |
Leider muss ich gestehen, dass ich mir bei dem letzten Schritt nicht ganz sicher bin.
Ich setzte also für die roten Elemente wieder die Induktionsvorraussetzung ein und erhalte:
7* [mm] 2^{n}+7* 2^{n} \le 7*2^{n}+n^{3}
[/mm]
In der Zeile darüber steht
7* [mm] 2^{n}+n^{3} \le 7*2^{n}+7* 2^{n}.
[/mm]
Also stimmt die Behauptung nicht!?! Aber das ist doch nicht wahr, oder???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Mi 23.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo fvs!
Du musst dies als eine einzige Ungleichheitskette sehen (also als eine einzige lange Zeile, und nicht wie Du gerade zeilenweise mit mehreren Zeilen).
[mm] $(n+1)^3 [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ ... \ [mm] \le 7*2^n [/mm] + [mm] n^3 [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] 7*2^n [/mm] + [mm] 7*2^n [/mm] \ = \ [mm] 7*2^n*2 [/mm] \ = \ [mm] 7*2^n*2^1 [/mm] \ = \ [mm] 7*2^{n+1}$ [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Fertig!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:59 Mi 23.11.2005 | | Autor: | fvs |
Vielen Dank. Jetzt habe ich das verstanden. Das ist ja sogar logisch. Noch einmal vielen, vielen DANK!!!
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