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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Induktion bei komplexen Zahlen
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Induktion bei komplexen Zahlen: Induktionsbeweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:18 Sa 30.10.2010
Autor: Lotl89

Aufgabe
Im folgenden seien z1, z2, · · · , zn beliebige komplexe Zahlen. Zeigen Sie mit dem Prinzip der
vollständigen Induktion, dass gilt:
     _____________        __   __         __
a) z1 · z2 · · · · · zn    =    z1 · z2 · · · · zn für alle n ∈ N.


Hallo, habe den Induktionsbeweis bisher nur bei Summen angewendet. Habe keine Idee wie ich hier vorgehen soll.
Habe Induktionsanfang mit n=1, Induktionsannahme und Beweis nach meinem Schema bei Summen durchgeführt, jedoch ohne Erfolg...

Ich weiss nicht wie ich die einzelnen Schritte an der vorgegeben Gleichung umsetzen soll...

Vielen dank für eure Hilfe.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Induktion bei komplexen Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Sa 30.10.2010
Autor: Lotl89

Hallo, leider ist mir oben bei der Darstellung ein Fehler unterlaufen, die Zeichen für Komplex Konjugiert sind verschoben.
Auf der linken seite soll dieses Zeichen durchgezogen über allen Werten stehen, rechts jeweils über den einzelnen.

Bezug
        
Bezug
Induktion bei komplexen Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:38 Sa 30.10.2010
Autor: schachuzipus

Hallo Lotl89 und [willkommenmr],


> Im folgenden seien z1, z2, · · · , zn beliebige komplexe
> Zahlen. Zeigen Sie mit dem Prinzip der
>  vollständigen Induktion, dass gilt:
>       _____________        __   __         __
>  a) z1 · z2 · · · · · zn    =    z1 · z2 · · · ·
> zn für alle n ∈ N.
>  Hallo, habe den Induktionsbeweis bisher nur bei Summen
> angewendet. Habe keine Idee wie ich hier vorgehen soll.
>  Habe Induktionsanfang mit n=1, Induktionsannahme und
> Beweis nach meinem Schema bei Summen durchgeführt, jedoch
> ohne Erfolg...

Na, der Induktionsanfang für [mm]n=2[/mm] kann doch nicht so schwer sein.

Zu zeigen ist, dass für [mm]z_1,z_2\in\IC[/mm] gilt: [mm]\overline{z_1\cdot{}z_2}=\overline{z_1}\cdot{}\overline{z_2}[/mm]

Nun nimm dir mal [mm]z_1=x_1+y_1\cdot{}i[/mm] und [mm]z_2=x_2+y_2\cdot{}i[/mm] her und rechne geradeheraus aus, ob das gilt!


Wenn das klappt, kommst du im Induktionsschritt [mm]n\to\n+1[/mm] bestimmt auch klar.

>  
> Ich weiss nicht wie ich die einzelnen Schritte an der
> vorgegeben Gleichung umsetzen soll...
>  
> Vielen dank für eure Hilfe.
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Induktion bei komplexen Zahlen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 17:23 Sa 30.10.2010
Autor: Lotl89

Hallo,

ich nehme nun also an, dass die Gleichung für n gilt und versuche es nun für n+1

somit hätte ich ja dann  [mm] \overline{z1*z2*....zn*z(n+1)} [/mm] = [mm] \overline{z1*z2...*zn}*\overline{zn+1} [/mm] = [mm] \overline{z1}*\overline{z2}*.....\overline{zn}*\overline{zn+1} [/mm] ?

Kommt das hin?

Bezug
                        
Bezug
Induktion bei komplexen Zahlen: editiert
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:24 Sa 30.10.2010
Autor: Loddar

Hallo Lotl!


[notok] Wie kommst Du auf die erste Gleichheit? Diese musst Du erst zeigen.


Gruß
Loddar



Bezug
                                
Bezug
Induktion bei komplexen Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:25 Sa 30.10.2010
Autor: Lotl89

Hallo, Vielen Dank für eure Hilfe!

Echt super eure Arbeit hier im Forum.

Bezug
                                        
Bezug
Induktion bei komplexen Zahlen: Rolle rückwärts
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:28 Sa 30.10.2010
Autor: Loddar

Hallo Lotl!


Da muss ich jetzt doch einen Rückzieher machen! [sorry]

Aber wie kommst Du auf die erst Gleichheit?


Gruß
Loddar



Bezug
                                                
Bezug
Induktion bei komplexen Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:32 Sa 30.10.2010
Autor: Lotl89

Nunja ich komme auf die erste Gleichheit, da ich ja zeige, dass [mm] \overline{z1*z2} [/mm] = [mm] \overline{z1}*\overline{z2} [/mm] gilt, was ich dann auf [mm] \overline{zn} [/mm] übertragen habe.
Denn somit kann ich ja die einzelnen Z, die zusammen unter dem komplex konjugiert zeichen stehen, einzeln schreiben.

Stimmt das so?

Bezug
                                                        
Bezug
Induktion bei komplexen Zahlen: so geht es wohl
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:36 Sa 30.10.2010
Autor: Loddar

Hallo Lotl!


Okay, so kommt es hin. Du solltest dann aber auch dazu schreiben, dass Du die Induktionsvoraussetzung zweimal anwendest.


Gruß
Loddar



Bezug
                                                                
Bezug
Induktion bei komplexen Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:38 Sa 30.10.2010
Autor: Lotl89

Okay vielen Dank für eure Hilfe ;)

Bezug
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