Induktion bei Ungleichungen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweise per Induktion.
c) [mm] \summe_{k=n+1}^{2n} \bruch{2}{k} \ge \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(2k+1)} [/mm] |
Nachdem mir andernorts hier im Forum schon bzgl. Induktion bei Ungleichungen geholfen wurde, möchte ich hier erneut eine Ungleichung beweisen. Diesmal muss ich (Gott sei Dank) nicht den I.A. neu wählen. Dennoch würde ich mich gerne abgesichert wissen.
I.A.(n=1): [mm] \summe_{k=2}^{2} \bruch{2}{k} [/mm] = [mm] \bruch{2}{2} [/mm] = 1 [mm] \ge \summe_{k=1}^{1} \bruch{1}{k(2k+1)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
I.S.(n [mm] \to [/mm] n+1):
[mm] \summe_{k=n+2}^{2n+2} \bruch{2}{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=n+1}^{2n} \bruch{2}{k} [/mm] - [mm] \bruch{2}{n+1} [/mm] + [mm] \bruch{2}{2n+1} [/mm] + [mm] \bruch{2}{2n+2} \ge \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(2k+1)} [/mm] - [mm] \bruch{2}{n+1} [/mm] + [mm] \bruch{2}{2n+1} [/mm] + [mm] \bruch{2}{2n+2} [/mm] =
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(2k+1)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] + [mm] \bruch{2}{2n+1} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(2k+1)} [/mm] + [mm] \bruch{2(n+1)-(2n+1)}{(n+1)(2n+1)} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(2k+1)} [/mm] + [mm] \bruch{2n+2-2n-1}{(n+1)(2n+1)} [/mm] =
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(2k+1)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)(2n+1)} \ge \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(2k+1)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)(2n+3)} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(2k+1)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)(2(n+1)+1)} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{k(2k+1)}
[/mm]
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Hallo,
ich hab' keinen Fehler entdeckt.
Gruß v. Angela
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