Induktion am Pascalschen Dreie < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:06 Mo 25.10.2010 | | Autor: | CodeX |
| Aufgabe | | Wir betrachten das Pascal'sche Dreieck und lesen diese als mehrstellige Zahlen. n=0: 1, n=1: 11, n=2: 121 Und sehen: Die Zahl in der n-ten Reihe entspricht [mm] 11^n. [/mm] Beweisen Sie dies. |
Hallo matheraum,
ich brauche Hilfe bei dem lösen dieser Aufgabe. Ich komme bei der Aufgabe bis zum Induktionsschluss, doch bei diesem nicht weiter. Ich hab die Induktionsvorraussetzung zwar schon eingesetzt aber irgendwie bleibt eine Summe bei der ich nicht weiterweiß.
IA: [mm] 11^1 [/mm] = [mm] 1*10^0 [/mm] + [mm] *10^1 [/mm] <=> 11 = 11 (w)
IV: Es gelte [mm] 11^n [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n} {n\choose k}*10^k [/mm] für ein beliebiges aber festes [mm] n\in\IN
[/mm]
IB: Dann gilt auch: [mm] 11^{n+1} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k}*10^k [/mm]
IS: [mm] \sum_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k}*10^k [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n} {n+1\choose k}*10^k [/mm] + [mm] {n+1\choose n+1}*10^{n+1}
[/mm]
= [mm] \sum_{k=0}^{n} ({n\choose k}+{n\choose k-1})*10^k+10^{n+1}
[/mm]
[mm] =\sum_{k=0}^{n} {n\choose k}*10^k+\sum_{k=0}^{n} ({n\choose k-1}*10^k+10^{n+1}
[/mm]
(Einsetzen der Vorraussetzung) = [mm] 11^n+\sum_{k=0}^{n} {n\choose k-1}*10^k+10^{n+1}
[/mm]
und jetz? ich weiß nicht weiter, hab noch zwei andere Ansätze, aber komme mit denen nicht weiter, bzw. nicht so weit, als dass ich die IV einsetzen könnte.
MfG,
CodeX
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:17 Mo 25.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
hier stand Unsinn, Entschuldigung
leduart
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Mo 25.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du sollst doch vom pascalschen Dreieck und den Ziffernfolgen ausgehen. woher kommt dann deine Formel $ [mm] 11^n [/mm] $ = $ [mm] \sum_{k=0}^{n} {n\choose k}\cdot{}10^k [/mm] $
und die Beziehung [mm] {n+1\choose k}\cdot{}={n\choose k}\cdot{}+{n\choose k-1}\cdot{} [/mm] ist doch fast schon der Beweis. und du hast es nicht gezeigt.
im pascalschen Dreieck entsteht doch die folgende Reihe gerade durch Addition von 2 benachbarten Zahlen unter Beibehaltung der ersten und letzten.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:10 Mo 25.10.2010 | | Autor: | CodeX |
> Du sollst doch vom pascalschen Dreieck und den
> Ziffernfolgen ausgehen. woher kommt dann deine Formel [mm]11^n[/mm]
> = [mm]\sum_{k=0}^{n} {n\choose k}\cdot{}10^k[/mm]
> und die Beziehung
> [mm]{n+1\choose k}\cdot{}={n\choose k}\cdot{}+{n\choose k-1}\cdot{}[/mm]
> ist doch fast schon der Beweis. und du hast es nicht
> gezeigt.
> im pascalschen Dreieck entsteht doch die folgende Reihe
> gerade durch Addition von 2 benachbarten Zahlen unter
> Beibehaltung der ersten und letzten.
> Gruss leduart
>
die Formel kommt daher, dass die Zeilen jeweils 11er Potenzen seien sollen daher das [mm] 11^n [/mm] und diese gerade als Summe der Zehnerpotenzen des Binomialkoeffizienten im Pascalschen Dreieck zu finden sind.
Also 1331 = [mm] 1*10^3+3*10^2+3*10^1+1*10^0
[/mm]
Daher allgemein diese Darstellung.
Die Formel des unteren wurde in der Vorlesung schon bewiesen, deshalb habe ich diese Darstellung einfach übernommen.
Muss ich nicht am Ende auf das "Ergebnis" [mm] 11^{n+1} [/mm] kommen, damit der Beweis vollendet ist?
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Hallo,
die Aufgabe ist ziemlich blöd gestellt.
Dass 1,3,3,1 als 1331 zu lesen ist und gerade [mm] 11^3 [/mm] ist, geht ja noch an.
Aber wie liest man doch gleich 1,5,10,10,5,1 (richtig: 161051) oder gar 1,8,28,56,70,56,28,8,1 (richtig: 214358881)?
Du wirst also die Binomialkoeffizienten nicht als "Ziffern" verstehen dürfen, wohl aber als "Zehnerstellen". Alles klar?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Mo 25.10.2010 | | Autor: | CodeX |
> Hallo,
>
> die Aufgabe ist ziemlich blöd gestellt.
>
> Dass 1,3,3,1 als 1331 zu lesen ist und gerade [mm]11^3[/mm] ist,
> geht ja noch an.
>
> Aber wie liest man doch gleich 1,5,10,10,5,1 (richtig:
> 161051) oder gar 1,8,28,56,70,56,28,8,1 (richtig:
> 214358881)?
>
> Du wirst also die Binomialkoeffizienten nicht als "Ziffern"
> verstehen dürfen, wohl aber als "Zehnerstellen". Alles
> klar?
>
> Grüße
> reverend
ja, das dachte ich mir auch. Aber habe ich die "Zehnerstellen" nicht durch die 10er Potenz in der Summe dargestellt?
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Oh, pardon. Da habe ich zu schnell gelesen!
Dein Ansatz ist völlig richtig.
Ich schau mal, wie man den Induktionsschritt hinkriegt. Deine Umformungen sind zwar ok, aber ein Ziel ist noch nicht in Sicht, finde ich.
Bis später,
reverend
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Hallo CodeX, vorhin habe ich gar nicht darauf geachtet, dass das ja Deine erste Frage hier war.
Nachträglich also noch ein ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Dein Ansatz ist ok und führt auch zum Ziel, aber es gibt da einen Fehler, der Dich ausbremst:
> IA: [mm]11^1[/mm] = [mm]1*10^0[/mm] + [mm]*10^1[/mm] <=> 11 = 11 (w)
> IV: Es gelte [mm]11^n[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^{n} {n\choose k}*10^k[/mm]
> für ein beliebiges aber festes [mm]n\in\IN[/mm]
> IB: Dann gilt auch: [mm]11^{n+1}[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k}*10^k[/mm]
>
> IS: [mm]\sum_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k}*10^k[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^{n} {n+1\choose k}*10^k[/mm] + [mm]{n+1\choose n+1}*10^{n+1}[/mm]
>
> = [mm]\sum_{k=0}^{n} ({n\choose k}+{n\choose k-1})*10^k+10^{n+1}[/mm]
Das geht nicht. Für k=0 ist da der Bin.koeff [mm] \vektor{n\\-1} [/mm] zu bilden.
Diese Zeile muss daher heißen:
= [mm] 1+10^{n+1}+\summe_{k=1}^n{\vektor{n\\k-1}*10^k}+\summe_{k=1}^n{\vektor{n\\k}*10^k}
[/mm]
Der wahrscheinlich wesentliche "Trick" ist jetzt das Umschreiben der ersten Summe, so dass die nächste Zeile so lautet:
= [mm] 1+10^{n+1}+\summe_{k=0}^{n-1}{\vektor{n\\k}*10^{k+1}}+\summe_{k=1}^n{\vektor{n\\k}*10^k}
[/mm]
Und dann füllt man beide Summen so auf, dass sie wieder von Null bis n laufen, und ist fast fertig.
Grüße
reverend
> [mm]=\sum_{k=0}^{n} {n\choose k}*10^k+\sum_{k=0}^{n} ({n\choose k-1}*10^k+10^{n+1}[/mm]
>
> (Einsetzen der Vorraussetzung) = [mm]11^n+\sum_{k=0}^{n} {n\choose k-1}*10^k+10^{n+1}[/mm]
Ach, übrigens - Voraussetzung enthält das Wort "voraus" und hat daher nur ein "r".
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