Induktion + MAndelbrot < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 Mi 25.06.2008 | | Autor: | kasymir |
HAllo!
HAbe eine Frage zur Induktion und dem MAndelbrot. Die Aufgabe lautet:
Zu jedem c Element kompl ZAhlen haben wir eine Folge kompl ZAhlen [mm] z_{n} [/mm] wie folgt def: [mm] z_{o}=c z_{n+1}=(z_{n})^2+c
[/mm]
a) Zeige mit Induktion:´
Ist |c|<= 1/4 , so gilt [mm] |z_{n}<= [/mm] 1/2 für alle n
Hier mein Lösungsansatz
Induktionanfang:
Für n=0 ist
[mm]
Induktionsschritt
[mm] |z_{n+1}|=|(zn^2+c|<=|(zn)^2|+|c|<= |1/2^2|-|1/4^2|.....
[/mm]
b) Gleiche BEdingungen
z.Z. ISt c=-r, für r Element reeller ZAhlen mit o<=r<=2 so gilt [mm] |z_{n}|<=r
[/mm]
Da habe ich gar keine Idee für einen Ansatz.
weiter komme ich nicht und habe auch keine Idee. Kann mir jemand helfen?
ICh habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
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Hallo kasymir,
ich habe mir erlaubt, deinen Text zunächst zu redigieren.
> Hallo!
> Habe eine Frage zur Induktion und der Mandelbrotmenge. Die
> Aufgabe lautet:
> Zu jedem c [mm] \in \IC [/mm] haben wir eine Folge komplexer
> Zahlen [mm]z_{n}[/mm] wie folgt def: [mm]z_{o}=c \quad\quad\quad z_{n+1}=(z_{n})^2+c[/mm]
> a) Zeige mit Induktion:
> Ist |c|<= 1/4 , so gilt [mm]|z_{n}|<=[/mm] 1/2 für alle n
>
> Hier mein Lösungsansatz
> Induktionsanfang:
>
> Für n=0 ist
> [mm]
das müsste lauten: [mm] |z_0|=|c|\le \bruch{1}{4}<\bruch{1}{2}
[/mm]
> Induktionsschritt
> [mm]|z_{n+1}|=|(zn^2+c|<=|(zn)^2|+|c|<= |1/2^2|-|1/4^2|.....[/mm]
>
> ...........
> ...........
> ...........
Den Induktionsschritt schaffst du am besten mit einer geometrischen
Betrachtung in der Gauss-Ebene:
Wenn [mm] |z_n|\le [/mm] 1/2, dann ist [mm] |z_n^2| [/mm] = [mm] |z_n|^2\le \bruch{1}{4},
[/mm]
der zu [mm] z_n^2 [/mm] gehörige Punkt liegt also in der Kreisscheibe mit dem
Radius [mm] \bruch{1}{4} [/mm] um den Nullpunkt. Nun addiert man dazu
noch die Zahl c mit [mm] |c|\le\bruch{1}{4} [/mm] .......
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Mi 25.06.2008 | | Autor: | kasymir |
Das mit dem Kreis habe ich versanden.
Ist das dann ro richtig?
a)
Induktionsanfang
[mm] |z_{0}|=|c|<=1/4<=1/2
[/mm]
Indumtionsschritt
[mm] |z_{n+1}|=|z_{n}^2 +c|<=|z_{n}^2|+|c|<=1/4+1/4=1/2
[/mm]
b)
Induktionsanfang
[mm] z_{0}=c= [/mm] -r
Induktionsschritt
[mm] |z_{n+1}|=|z_{n}^2 +c|<=|z_{n}^2|+|c|<=r^2-(-r)=r^2+r
[/mm]
reicht das so aus? ich habe leider gar kein verständnis für komplexe zahlen
Gruß Kasymir
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
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> Das mit dem Kreis habe ich verstanden.
> Ist das dann so richtig?
>
> a)
> Induktionsanfang
> [mm]|z_{0}|=|c|<=1/4<=1/2[/mm]
>
> Induktionsschritt
> [mm]|z_{n+1}|=|z_{n}^2 +c|<=|z_{n}^2|+|c|<=1/4+1/4=1/2[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b)
> Induktionsanfang
> [mm]z_{0}=c=[/mm] -r
>
> Induktionsschritt
>
> [mm]|z_{n+1}|=|z_{n}^2 +c|<=|z_{n}^2|+|c|<=r^2-(-r)=r^2+r[/mm]
Hallo Kasymir,
was willst du mit dem Teil b) ??? (spezielle Behandlung für negatives reelles [mm] z_0 [/mm] ?)
das ist absolut überflüssig !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Mi 25.06.2008 | | Autor: | kasymir |
Teil b) war ein Aufgabenteil der mit vollst. Induktion zu beweisen war.
Zeige mit vollständiger Induktion, Ist c=-r für r Element R mit 0<=r<=2 so gil [mm] |z_{n}|=
Werden wir bei der Aufgabe etwa hops genommen und ich merke es nicht und grübel zu viel?
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> Teil b) war ein Aufgabenteil der mit vollst. Induktion zu
> beweisen war.
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> Zeige mit vollständiger Induktion, Ist c=-r für r Element
> R mit 0<=r<=2 so gil [mm]|z_{n}|=
> [mm]z_{0}=c[/mm] und [mm]z_{n+1}=z_{n}^2+c[/mm]
>
> Werden wir bei der Aufgabe etwa hops genommen und ich merke
> es nicht und grübel zu viel?
Sorry, die Teilaufgabe b) hatte ich vorher weggeschnitten.
Wenn [mm] z_0 [/mm] auf der reellen Achse liegt, liegen alle [mm] z_n [/mm] auf der
reellen Achse. Die Behauptung ist, dass [mm] |z_n|\le [/mm] r für alle n.
Für n=0 ist [mm] |z_0|=|-r|=r
[/mm]
Für den Induktionsschritt muss man zeigen, dass
[mm] |x^2-r| \le [/mm] r für alle [mm] x\in \left[-r;r\right]\quad\quad\quad (0\le r\le2)
[/mm]
Gruß
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