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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 Do 25.10.2012 | | Autor: | zjay |
| Aufgabe | Zeigen Sie
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b) Für jedes n [mm] \in \IN [/mm] ist 133 ein Teiler von 11^(n+1)+12^(2n-1) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Guten Tag Leute,
ich hätte eine Frage zu der obigen Aufgabe.
Mein Ansatz sieht wie folgt aus:
[mm] \summe_{i=1}^{n}11^{n+1}+12^{2n-1}=133n
[/mm]
Jetzt möchte ich diese Aussage mithilfe einer vollständigen Induktion beweisen.
1. Frage: Ist dieser Ansatz logisch und möglich?
Um dies zu zeigen fange ich an indem ich zeige, dass für n=0 die gleichung auf beiden Seiten erfüllt ist. Funktioniert problemlos.
Bei dem Induktionssatz habe ich allerdings ein Problem:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}11^{n+1+1}+12^{2n-1+2}
[/mm]
Ich habe bewusst die Exponenten nicht vereinfacht weil ich von der oben genannten Form gerne in die anfangs bereits genannte Form [mm] \summe_{i=1}^{n+1}11^{n+1}+12^{2n-1}
[/mm]
kommen will um die Induktion durchzuführen und überlege die ganze Zeit wie ich bei einer Summe 11 und 12² loswerden kann. Bei einem Produkt wärs ja ganz einfach. Da könnte ich einfach ausklammern.
Fällt euch da irgendetwas ein oder gibt es da irgendwelche Regeln, die mir das umformen erleichtern? Ich möchte ja letztlich nur umformen um 133n für [mm] \summe_{i=1}^{n}11^{n+1}+12^{2n-1} [/mm] einsetzen zu können.
Grüße,
zjay
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Do 25.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie
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> b) Für jedes n [mm]\in \IN[/mm] ist 133 ein Teiler von
> 11^(n+1)+12^(2n-1)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Guten Tag Leute,
>
> ich hätte eine Frage zu der obigen Aufgabe.
>
> Mein Ansatz sieht wie folgt aus:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}11^{n+1}+12^{2n-1}=133n[/mm]
Das ist nicht richtig. Zu zeigen ist: zu jedem n gibt es ein k [mm] \in \IN [/mm] (das von n abhängt mit:
[mm] 11^{n+1}+12^{2n-1}=133k
[/mm]
FRED
>
> Jetzt möchte ich diese Aussage mithilfe einer
> vollständigen Induktion beweisen.
>
> 1. Frage: Ist dieser Ansatz logisch und möglich?
>
> Um dies zu zeigen fange ich an indem ich zeige, dass für
> n=0 die gleichung auf beiden Seiten erfüllt ist.
> Funktioniert problemlos.
>
> Bei dem Induktionssatz habe ich allerdings ein Problem:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1}11^{n+1+1}+12^{2n-1+2}[/mm]
>
> Ich habe bewusst die Exponenten nicht vereinfacht weil ich
> von der oben genannten Form gerne in die anfangs bereits
> genannte Form [mm]\summe_{i=1}^{n+1}11^{n+1}+12^{2n-1}[/mm]
>
>
>
> kommen will um die Induktion durchzuführen und überlege
> die ganze Zeit wie ich bei einer Summe 11 und 12²
> loswerden kann. Bei einem Produkt wärs ja ganz einfach. Da
> könnte ich einfach ausklammern.
>
> Fällt euch da irgendetwas ein oder gibt es da irgendwelche
> Regeln, die mir das umformen erleichtern? Ich möchte ja
> letztlich nur umformen um 133n für
> [mm]\summe_{i=1}^{n}11^{n+1}+12^{2n-1}[/mm] einsetzen zu können.
>
> Grüße,
>
> zjay
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Hallo zjay,
Fred hat wie immer Recht, aber Dein Ansatz wäre zu retten...
> Zeigen Sie
>
> b) Für jedes n [mm]\in \IN[/mm] ist 133 ein Teiler von
> 11^(n+1)+12^(2n-1)
>
> Mein Ansatz sieht wie folgt aus:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}11^{n+1}+12^{2n-1}=133n[/mm]
Wenn da [mm] \summe_{i=1}^{n}\left(11^{\blue{i}+1}+12^{2\blue{i}-1}\right)=133\blue{k} [/mm] stünde, wärs ok.
Nur: warum so kompliziert? Auch dann müsstest Du in einem Induktionsschritt zeigen, dass [mm] 11^{n+1}+12^{2n-1} [/mm] durch 133 teilbar ist. Und mehr ist ja nicht gefragt. Die Summenformel kannst Du Dir also sparen, es sei denn, es gibt eine offensichtliche Darstellung des "blauen k".
> Jetzt möchte ich diese Aussage mithilfe einer
> vollständigen Induktion beweisen.
>
> 1. Frage: Ist dieser Ansatz logisch und möglich?
Ja. Aber viel zu umständlich.
> Um dies zu zeigen fange ich an indem ich zeige, dass für
> n=0 die gleichung auf beiden Seiten erfüllt ist.
> Funktioniert problemlos.
Ja.
> Bei dem Induktionssatz habe ich allerdings ein Problem:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1}11^{n+1+1}+12^{2n-1+2}[/mm]
Nein. Hier stimmt die Schreibweise überhaupt nicht. Außerdem ist das keine Gleichung.
> Ich habe bewusst die Exponenten nicht vereinfacht weil ich
> von der oben genannten Form gerne in die anfangs bereits
> genannte Form [mm]\summe_{i=1}^{n+1}11^{n+1}+12^{2n-1}[/mm]
>
> kommen will
Wieder nein. Da willst und kannst Du nicht hin.
> um die Induktion durchzuführen und überlege
> die ganze Zeit wie ich bei einer Summe 11 und 12²
> loswerden kann. Bei einem Produkt wärs ja ganz einfach. Da
> könnte ich einfach ausklammern.
>
> Fällt euch da irgendetwas ein oder gibt es da irgendwelche
> Regeln, die mir das umformen erleichtern? Ich möchte ja
> letztlich nur umformen um 133n für
> [mm]\summe_{i=1}^{n}11^{n+1}+12^{2n-1}[/mm] einsetzen zu können.
Schau Dir die Summenschreibweise noch einmal an. Was Du da schreibst, ist Unsinn, obwohl ich verstehe, was Du eigentlich ausdrücken willst. Und das ist, wie gesagt, unnötig kompliziert.
Was darfst Du eigentlich verwenden?
Das hier sieht eher nach Zahlentheorie aus.
Hattet Ihr Modul-/Restklassenrechnung? Darfst Du den "kleinen Fermat" verwenden?
Es ist $133=7*19$. Das sieht nicht vielversprechend aus.
Interessanter ist vielleicht 133=132+1=11*12+1.
Aber bevor wir da weitermachen, muss ich erstmal wissen, wie weit Ihr in der Zahlentheorie seid. Kennst Du schon die "Ordnung" einer Zahl (bzw. Restklasse) bzgl. eines Moduls? Da haben $11$ und [mm] 12^2 [/mm] nämlich beide die Ordnung 3 bzgl. der Moduln 7 und 19, also auch bzgl. 133.
Dass die Ordnung gleich ist, ist nicht verwunderlich: [mm] 11\equiv 12^2\mod{133}
[/mm]
Wenn Du das kennst, dann wunderst Du Dich wahrscheinlich auch nicht über die Angabe [mm] 12^2. [/mm] 
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Do 25.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Hallo,
auch noch von mir ein kleiner Beitrag:
Ich würde mir bei einem simplen Induktionsbeweise vor allem zu Nutze machen, dass [mm] 12^2=133+11 [/mm] . Dann reicht es aus, im Induktionsschritt geschickt auszuklammern und zusammenzufassen. Ich hoffe, dass der Tipp nicht schon gegeben wurde und ich ihn überlesen habe.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:10 Do 25.10.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Axiom,
> auch noch von mir ein kleiner Beitrag:
>
> Ich würde mir bei einem simplen Induktionsbeweise vor
> allem zu Nutze machen, dass [mm]12^2=133+11[/mm] . Dann reicht es
> aus, im Induktionsschritt geschickt auszuklammern und
> zusammenzufassen. Ich hoffe, dass der Tipp nicht schon
> gegeben wurde und ich ihn überlesen habe.
Nein, so direkt wurde der noch nicht gegeben. Man hätte ihn aus meinem Hinweis ableiten können, mehr aber auch nicht.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Do 25.10.2012 | | Autor: | zjay |
so leute, es sind wieder einige stunden vergangen und auch ich war nicht untätig als ich in der uni war.
Zu ähnlichen schlussfolgerungen bin ich auch gekommen.
deshalb meine rechnung, die leider gottes am ende noch nicht aufgeht:
11^(n+1)+12^(2n-1)=133n
IA:
n=1
jetzt stark abgekürzt 133=133
IS:
n->n+1
[mm] 11^{n+1+1}+12^2(n+1)-1=133(n+1)
[/mm]
11*11^(n+1)+12^(2n-1)*12²=133n+133
11*11^(n+1)+12^(2n-1)*(133+11)=133n+133
11(11^(n+1)+12^(2n-1)+12^(2n-1)*133=133n+133
11(133n)+12^(2n-1)*133-133n+133=0
und an der stelle komme ich nicht mehr weiter ;(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:43 Do 25.10.2012 | | Autor: | zjay |
ups, kleiner fehler. ich meinte natürlich 12^(2(n+1)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:46 Do 25.10.2012 | | Autor: | zjay |
gibts hier keine editfunktion? ich mach mich ja schon lächerlich. auch beim korrekturversuch hab ich nen fehler: es heißt 12^(2(n+1)-1)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:49 Do 25.10.2012 | | Autor: | zjay |
11*11^(n+1)+12^(2n-1)*12²=133n+133
11*11^(n+1)+12^(2n-1)*(133+11)=133n+133
11(11^(n+1)+12^(2n-1))+12^(2n-1)*133=133n+133
11(133n)+12^(2n-1)*133-133n+133=0
tut mir leid, jetzt müsste auch die rechnung stimmen. hatte eine klammer vergessen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:53 Do 25.10.2012 | | Autor: | zjay |
und es muss heißen -133 ... ich brauch wirklich die edit-funktion!
11*11^(n+1)+12^(2n-1)*12²=133n+133
11*11^(n+1)+12^(2n-1)*(133+11)=133n+133
11(11^(n+1)+12^(2n-1))+12^(2n-1)*133=133n+133
11(133n)+12^(2n-1)*133-133n-133=0
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:25 Do 25.10.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo zjay,
eine Edit-Funktion gibt es längst.
Wenn Du in der Leseanzeige Deines eigenen Artikels bist (egal ob Frage, Antwort oder Mitteilung), klick auf "Reagieren", dann bekommst du in der Funktionsauswahl auch die Möglichkeit, den Artikel zu bearbeiten. Und zwar so oft Du willst.
Dann sieht es auch nicht mehr so sehr nach Selbstgesprächen aus.
Das beste ist, Du probierst es direkt mal aus und editierst all Deine Nachbesserung in die zZ noch offene Frage.
Die wird übrigens gelb angezeigt, solange Du editierst. Dann wissen auch andere, dass da gerade noch etwas passiert.
Grüße
reverend
PS: Auch Moderatoren können Deine Artikel editieren. Wir tun es aber normalerweise nicht, weil es halt nur wenige Gründe gibt, in fremde Beiträge einzugreifen. Das soll normalerweise nur der Autor selbst tun.
Manchmal allerdings korrigieren wir TeX-Fehler, so dass der Beitrag lesbar wird.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:01 Do 25.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> so leute, es sind wieder einige stunden vergangen und auch
> ich war nicht untätig als ich in der uni war.
>
> Zu ähnlichen schlussfolgerungen bin ich auch gekommen.
>
> deshalb meine rechnung, die leider gottes am ende noch
> nicht aufgeht:
>
> 11^(n+1)+12^(2n-1)=133n
>
> IA:
>
> n=1
>
> jetzt stark abgekürzt 133=133
Das ist nicht abgekürzt, das ist nutzlos. Setze n=1 und prüfe nach, dass der Ausdruck geteilt durch 133 eine natürliche Zahl - 1 - ergibt. Aber 133=133 lässt sich schwerlich als IA. verwenden.
> IS:
>
> n->n+1
>
> [mm]11^{n+1+1}+12^2(n+1)-1=133(n+1)[/mm]
Hallo,
wie kommst du denn zu dieser Behauptung? Dies war gar nicht zu zeigen, sondern viel mehr, dass 133 den Ausdruck teilt. Verwende zum Beispiel meinen Tipp, dann hast du:
[mm] 11^{n+2}+12^{2(n+1)-1}
[/mm]
[mm] =11*11^{n+1}+(11+133)12^{2n-1} [/mm] .
Versuche diesen Ausdruck so umzuformen, dass du die Induktionsvorraussetzung verwenden kannst. Als gegeben darfst du wohl annehmen, dass Summen und Produkte von natürlichen Zahlen auch natürlich sind. Eine Gleichheitsbeziehung wie du sie unten zu beweisen suchst ist nicht gefordert.
> 11*11^(n+1)+12^(2n-1)*12²=133n+133
>
> 11*11^(n+1)+12^(2n-1)*(133+11)=133n+133
>
> 11(11^(n+1)+12^(2n-1)+12^(2n-1)*133=133n+133
>
> 11(133n)+12^(2n-1)*133-133n+133=0
>
> und an der stelle komme ich nicht mehr weiter ;(
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Sa 27.10.2012 | | Autor: | zjay |
Hey,
genau an der Stelle kam ich vor einigen Tagen nicht weiter. Meinen Ansatz hab ich jetzt modifiziert, so dass er jetzt auch schlüssig sein sollte.
Beim IS weiß ich aber nach wie vor nicht, wie ich 11 geschickt ausklammern kann, um die Induktionsvoraussetzung einzusetzen.
Wenn ich 11 ausklammere, erhalte ich:
[mm] 11(11^{n+1}+12^{2n-1}*\bruch{11+133}{11})
[/mm]
etwas Besseres will mir gerad nicht einfallen und einsetzen kann ich die Induktionsvoraussetzung auch nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:11 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> Hey,
>
> genau an der Stelle kam ich vor einigen Tagen nicht weiter.
> Meinen Ansatz hab ich jetzt modifiziert, so dass er jetzt
> auch schlüssig sein sollte.
>
> Beim IS weiß ich aber nach wie vor nicht, wie ich 11
> geschickt ausklammern kann, um die Induktionsvoraussetzung
> einzusetzen.
>
> Wenn ich 11 ausklammere, erhalte ich:
>
> [mm]11(11^{n+1}+12^{2n-1}*\bruch{11+133}{11})[/mm]
>
> etwas Besseres will mir gerad nicht einfallen und einsetzen
> kann ich die Induktionsvoraussetzung auch nicht.
Hallo noch einmal,
geh noch einmal von dem Hinweis meiner letzten Antwort aus. Wegen der IV müssen wir versuchen, den Ausdruck irgendwie zurückzuführen auf [mm] 11^{n+1}+12^{2n-1}. [/mm] Beide Summanden tauchen schon auf in dem Ausdruck, zu dem wir gekommen sind. Multipliziere einmal den Term mit der 12 aus. Dann hast du die beiden Summanden, jeweils mit 11 multipliziert, das heißt doch durch ausklammern von 11 erhälst du $11*IV$ . Was übrig bleibt, ist $133*...$ . Beides ist doch teilbar durch 133.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Sa 27.10.2012 | | Autor: | zjay |
okay, danke.
ich habe es jetzt auch hingekriegt. hatte einen ähnlichen Lösungsweg anfangs gehabt, aber diesen verworfen weil ich nicht berücksichtigt hatte, dass natürliche Zahlen, die wir mit 133 multiplizieren logischerweise auch durch 133 teilbar sein müssen.
Kann ich meine Aufgabe mit [mm] 11*133n+133*12^{2n-1}=133(n+1) [/mm]
abschließen, wenn ich begründe, dass beide Seiten sich durch 133 teilen lassen?
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Hallo zjay,
hmpf.
> ich habe es jetzt auch hingekriegt. hatte einen ähnlichen
> Lösungsweg anfangs gehabt, aber diesen verworfen weil ich
> nicht berücksichtigt hatte, dass natürliche Zahlen, die
> wir mit 133 multiplizieren logischerweise auch durch 133
> teilbar sein müssen.
Die natürlichen Zahlen an sich nicht, aber ihr Produkt mit 133 schon. Vor allem, weil 133 schon durch 133 teilbar ist.
> Kann ich meine Aufgabe mit [mm]11*133n+133*12^{2n-1}=133(n+1)[/mm]
>
> abschließen, wenn ich begründe, dass beide Seiten sich
> durch 133 teilen lassen?
Nein. Das stimmt doch einfach nicht. Zwar steht n meistens für eine beliebige natürliche Zahl, aber innerhalb einer Gleichung muss es dann schon überall das gleiche n sein.
Mit anderen Worten: rechts steht kein n, sondern irgendetwas anderes, k,q,s,t oder wie auch immer Du die Variable dann nennen willst.
Irritierender finde ich hier aber noch die linke Seite - wie bist Du denn dahin gekommen?
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 Sa 27.10.2012 | | Autor: | zjay |
also,
von dem schritt [mm] 11*11^{n+1}+(11+133)*12^{2n-1}=11(11^{n+1}+12^{2n-1})+133*12^{2n-1}=11(133k)+133*12^{2n-1}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:07 Sa 27.10.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
das sieht viel besser aus.
> von dem schritt
> [mm]11*11^{n+1}+(11+133)*12^{2n-1}=11(11^{n+1}+12^{2n-1})+133*12^{2n-1}=11(133k)+133*12^{2n-1}[/mm]
Jetzt mit der Unterscheidung von k und n verstehe ich das auch.
Wenn Du ganz überdeutlich werden willst, kannst Du jetzt noch fortführen
[mm] 11*133k+133*12^{2n-1}=133(11k+12^{2n-1})=133t
[/mm]
Jedenfalls bist Du jetzt mit dem Tipp von Axiom doch auf einem kurzen Rechenweg fertig geworden. Glückwünsch!
@Axiom: auch Dir übrigens Gratulation und Respekt. Gut gesehen!
Grüße
reverend
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