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| Aufgabe | Beweise mit vollständiger Induktion:
a) Falls [mm] p\ge [/mm] 2 eine natürliche Zahl ist, so gilt [mm] p^{n}>n [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] |
Hallo Leute,
ich bin gerade bei meiner ersten Induktionsaufgabe und beherrsche es leider noch nicht so gut.
Mein Ansatz.
IA: n=1 [mm] p^{1}=p>n
[/mm]
IV: Beh. [mm] p^{n} [/mm] > n gelte für ein n [mm] >n_{0} [/mm] mit n [mm] \in \IN
[/mm]
IS: (n [mm] \to [/mm] n+1)
Dann erhalte ich
[mm] p^{n+1}=p^{n}*p>n
[/mm]
Ich müsste jetzt noch meine [mm] IV(p^{2}>n [/mm] benutzen.
Wie kann ich nun weiter fortfahren?
Mir fällt dazu nichts mehr ein(meine erste Aufgabe)
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Mo 08.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Beweise mit vollständiger Induktion:
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> a) Falls [mm]p\ge[/mm] 2 eine natürliche Zahl ist, so gilt [mm]p^{n}>n[/mm]
> für alle n [mm]\in \IN[/mm]
> Hallo Leute,
>
> ich bin gerade bei meiner ersten Induktionsaufgabe und
> beherrsche es leider noch nicht so gut.
>
> Mein Ansatz.
>
> IA: n=1 [mm]p^{1}=p>n[/mm]
Nein. Für n=1 haben wir [mm] p^1> [/mm] 1, denn p [mm] \ge [/mm] 2
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> IV: Beh. [mm]p^{n}[/mm] > n gelte für ein n [mm]>n_{0}[/mm] mit n [mm]\in \IN[/mm]
??? Besser: IV: [mm]p^{n}[/mm] > n gelte für ein n [mm]\in \IN[/mm]
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> IS: (n [mm]\to[/mm] n+1)
>
> Dann erhalte ich
>
> [mm]p^{n+1}=p^{n}*p>n[/mm]
Nein. Mit der IV erhältst Du
[mm]p^{n+1}=p^{n}*p>n*p[/mm]
Wenn Du jetzt zeigen kannst, dass
(*) [mm] $n*p\ge [/mm] n+1$
ist, bist Du fertig.
Warum gilt (*) ?
FRED
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> Ich müsste jetzt noch meine [mm]IV(p^{2}>n[/mm] benutzen.
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> Wie kann ich nun weiter fortfahren?
> Mir fällt dazu nichts mehr ein(meine erste Aufgabe)
>
> Gruß
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Danke
Also
IS: (n->n+1)
[mm] p^{n+1}=p^{n}*p^{1}>p*n [/mm] Da
Ich setze dann für p=2 da [mm] p\ge2
[/mm]
->2*n=n+n [mm] \ge [/mm] n+1 da n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1
und schon ist es bewiesen :)
Das ist korrekt oder?
Gruß
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Hallo defjam123,
> Danke
>
> Also
> IS: (n->n+1)
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> [mm]p^{n+1}=p^{n}*p^{1}>p*n[/mm] Da
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> Ich setze dann für p=2 da [mm]p\ge2[/mm]
>
> ->2*n=n+n [mm]\ge[/mm] n+1 da n [mm]\in \IN,[/mm] n [mm]\ge[/mm] 1
was bedeutet der erste Pfeil? besser: [mm]pn\ge 2n \ldots[/mm]
>
> und schon ist es bewiesen :)
> Das ist korrekt oder?
Ja!
>
> Gruß
Gruß
schachuzipus
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