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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:56 Sa 30.10.2010 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Beweise mittels Induktion:
[mm] \summe_{k=0}^{n} (-1)^{k} \binom{n}{k} [/mm] = 0 |
Hallo,
Brauche da etwas Hilfe. Hab das jetzt so gemacht:
Induktionsanfang hat gut geklappt. Da kommt 0 raus. Kein Problem.
Induktionsvoraussetzung: Für beleibige n [mm] \varepsilon \IN [/mm] sei A(n) wahr.
Induktionsschluss:
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} (-1)^{k} \binom{n+n+1}{k} [/mm] = 0
Ist das so richtig erstmal? Und wie kann ich das vereinfachen? Ich muss die linke Seite ja so vereinfachen, dass da 0 steht. Am besten vereinfache ich die so, dass ich später die Aussagen A(n), welche ja wahr war, ausnutzen kann. Aber weiß nicht genau, wie ich das machen soll, geschweige denn, dass mein Schluss stimmt. xD danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:18 So 31.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Beweise mittels Induktion:
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> [mm]\summe_{k=0}^{n} (-1)^{k} \binom{n}{k}[/mm] = 0
> Hallo,
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> Brauche da etwas Hilfe. Hab das jetzt so gemacht:
>
> Induktionsanfang hat gut geklappt. Da kommt 0 raus. Kein
> Problem.
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> Induktionsvoraussetzung: Für beleibige n [mm]\varepsilon \IN[/mm]
> sei A(n) wahr.
>
> Induktionsschluss:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1} (-1)^{k} \binom{n+n+1}{k}[/mm] = 0
das ist falsch
richtig ist
[mm] $\summe_{k=0}^{n+1} (-1)^{k} \binom{n+1}{k}$ [/mm] = 0
du musst die linke Seite auf die Induktionsvors zurückführen, +0
machs mal von n=2 nach n=3 da kommen oft die richtigen Ideen
Wenn ihr die Binomialreihe hatte ist das einfach die Reihe für [mm] (1-1)^n
[/mm]
vielleicht hift dir auch das.
Ein bissel musst du schon selbst rumprobieren, guck dir auch die Identitäten für [mm] \binom{n}{k} [/mm] an.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:16 So 31.10.2010 | | Autor: | SolRakt |
[mm] \summe_{k=0}^{n} (-1)^{k} \binom{n+1}{k} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{1} [/mm]
[mm] (-1)^{k} \binom{n+1}{k}
[/mm]
Kann man das denn so aufspalten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:46 So 31.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo SolRakt!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das stimmt nicht. Es gilt:
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} (-1)^{k}* \binom{n+1}{k} \ = \ \summe_{k=0}^{n} (-1)^{k}* \binom{n+1}{k}+\summe_{k=n+1}^{n+1} (-1)^{k}* \binom{n+1}{k}[/mm]
Gruß
Loddar
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> Beweise mittels Induktion:
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> [mm]\summe_{k=0}^{n} (-1)^{k} \binom{n}{k}[/mm] = 0
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> Induktionsanfang hat gut geklappt. Da kommt 0 raus. Kein
> Problem.
Ganz sicher ?
Versuche es mal mit n=0 !
In der Aufgabenstellung stand nichts davon, dass [mm] n\ge [/mm] 1
sein solle - doch die Summe [mm]\summe_{k=0}^{n} (-1)^{k} \binom{n}{k}[/mm] ist auch
für n=0 durchaus definiert, hat aber dann den Wert 1 ,
also eben nicht 0 wie behauptet. Man könnte also mit
gutem Recht sagen, dass die behauptete Gleichung eben
gerade nicht allgemein gültig ist und deshalb auch
nicht durch Induktionsbeweis beweisbar sein kann !
---> bei einem Beweis durch vollständige Induktion ist
es wichtig, genau anzugeben, für welche n die Behauptung
bewiesen werden soll.
LG Al-Chw.
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