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Es seien [mm] a_1 [/mm] .... [mm] a_m [/mm] element von N \ {0} Beweisen Sie gilt für ein n element von N \ {0}
[mm] \prod_{i=1}^{m} (1+a_i) [/mm] > [mm] 2^n [/mm] , so folgt [mm] \sum_{i=1}^{m} a_i [/mm] > n
Hinweis zeige zunächst (1+k) [mm] \le 2^k [/mm] für k element von N \ {0}
_______
1. (Hinweis) (1+1) [mm] \le 2^1 [/mm]
2=2
Induktionsanfang n=1
= (1+1a)> [mm] 2^1
[/mm]
Induktionsschluss von n auf n+1
(1+1a) > [mm] 2^n+1
[/mm]
kann mir jemand weiterhelfen, ob ich bis jetzt richtig arbeite , denn ab jetzt komme ich nicht weiter
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 Mi 21.10.2009 | | Autor: | Doing |
Hallo.
Also ich weiß nicht ganz was du da grade vor hast. Du willst ja erst die im Hinweis genannte Abschätzung zeigen. Das hat mit den [mm] a_i [/mm] noch gar nix zu tun.
Du willst zeigen: [mm] (k+1)\ge 2^k [/mm] für alle [mm] k \in \IN [/mm].
Der Induktionsanfang ist schon richtig. Das Ziel im Induktionsschritt ist jetzt, salopp gesagt, zu zeigen, dass die Ungleichung für (k+1) gilt, wenn sie für k gilt. D.h. du gehst davon aus, dass [mm] (k+1)\ge 2^k [/mm] wahr ist, und versuchst damit zu zeigen, dass [mm] (k+2)\ge 2^{(k+1)} [/mm]
Grüße
Doing
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Danke so weit verstanden, aber wie gehts dann weiter. wie kann ich durch den Hinweis, die andere Aufgabe beweisen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Mi 21.10.2009 | | Autor: | Doing |
Mach dir klar, dass gilt:
[mm] \produkt_{i=1}^{m}(1+a_i) \le \produkt_{i=1}^{m}2^{a_i}=2^{(\summe_{i=1}^{m}a_i)} [/mm]
Grüße
Doing
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das habe ich jetzt nicht verstanden , wie kommst du denn da drauf??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 Mi 21.10.2009 | | Autor: | Doing |
Die [mm] a_i [/mm] sind natürlich Zahlen. Für solche hast du gerade eine Abschätzung gezeigt; es gilt:
[mm] (1+a_i) \le 2^{a_i} [/mm].
Da sich alles in den positiven Zahlen abspielt, ist natürlich damit auch das Produkt der [mm] 2^{a_i} [/mm] größer als das der [mm] (1+a_i) [/mm].
Um auf die letzte Gleichheit zu kommen schreib doch einfach mal den Term als [mm] \produkt_{i=1}^{m} 2^{a_i}=2^{a_1}*2^{a_2}*...*2^{a_m} [/mm]. Wie man Potenzen mit gleicher Basis multipliziert ist ja bekannt.
Grüße
Doing
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