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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:21 Do 10.04.2008 | | Autor: | babsbabs |
| Aufgabe | Man erläutere das Prinzip der vollständigen Induktion (nach n) anhand eines beweises für die folgende Behauptung!
[mm] (1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)....(1+x^{2^n})=\bruch{1-x^{2^n^+^1}}{1-x}
[/mm]
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Also mein Ansatz:
Induktionsanfang: n = 0
1+x = [mm] \bruch{1-x^2}{1-x}
[/mm]
[mm] 1-x^2 [/mm] = [mm] 1-x^2
[/mm]
dh Induktionsanfang ok!
Induktionsannahme:
[mm] (1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)....(1+x^{2^n})=\bruch{1-x^{2^n^+^1}}{1-x}
[/mm]
Induktionsbehauptung:
[mm] (1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)....(1+x^{2^n})=\bruch{1-x^{2^n^+^1^+^1}}{1-x}
[/mm]
= [mm] \bruch{1-x^{2^n^+^2}}{1-x}
[/mm]
Induktionsbeweis:
[mm] \bruch{1-x^{2^n^+^1}}{1-x}*1+x^{2^n^+^1}=\bruch{1-x^{2^n^+^2}}{1-x}
[/mm]
q.e.d
Stimmt das so?
lg
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> Man erläutere das Prinzip der vollständigen Induktion (nach
> n) anhand eines beweises für die folgende Behauptung!
>
> [mm](1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)....(1+x^{2^n})=\bruch{1-x^{2^n^+^1}}{1-x}[/mm]
Hallo,
sicher steht noch irgendwo, daß [mm] x\not=1.
[/mm]
Das Grundprinzip geht ja so:
man hat eine Behauptung für alle [mm] n\in \IN [/mm] zu zeigen.
Induktionsanfang: man zeigt die Gültigkeit der Behauptung für n=0 (oder n=1)
Induktionsannahme: man nimmt an, daß die Behauptung für n gilt.
Induktionsschluß: man zeigt, daß die behauptung unter dieser Voraussetzung auch für n+1 richtig ist.
>
>
> Also mein Ansatz:
Sei [mm] x\not=1.
[/mm]
>
> Induktionsanfang: n = 0
Zu zeigen: [mm] (1+x^{2^0})=\bruch{1-x^{2^0^+^1}}{1-x} [/mm] <==> [mm] (1+x)=\bruch{1-x^{2}}{1-x}
[/mm]
Es ist
> 1+x
= [mm] (1+x)\bruch{1-x}{1-x}
[/mm]
> [mm] =\bruch{1-x^2}{1-x}
[/mm]
>
>
> dh Induktionsanfang ok!
>
> Induktionsannahme:
Es gilt
>
> [mm] (1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)....(1+x^{2^n})=\bruch{1-x^{2^n^+^1}}{1-x}
[/mm]
für ein n [mm] \in \IN.
[/mm]
>
> Induktionsbehauptung:
Hier mußt Du nun in der Behauptung jedes(!) n durch n+1 ersetzen.
Zu zeigen: dann ist
>
> [mm] (1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)....(1+x^{2^{\red{n+1}}}) =\bruch{1-x^{2^n^+^1^+^1}}{1-x}
[/mm]
>
> [mm] =\bruch{1-x^{2^n^+^2}}{1-x}
[/mm]
>
> Induktionsbeweis:
Es ist
[mm] (1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)....(1+x^{2^{\red{n+1}}})
[/mm]
[mm] =(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)....(1+x^{2^n}) *(1+x^{2^{n+1}}) [/mm]
> [mm] =\bruch{1-x^{2^n^+^1}}{1-x}*(1+x^{2^n^+^1})
[/mm]
Daß nun wirklich das da unten herauskommt, würde ich noch deutlich vorrechen.
[mm] \vdots
[/mm]
> [mm] =\bruch{1-x^{2^n^+^2}}{1-x}
[/mm]
>
> q.e.d
Gruß v. Angela
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