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[Dateianhang nicht öffentlich]
hallo allerseits!
dies ist mein erster post hier 
ich versuche obige aufgabe mit vollständiger induktion zu beweisen, und komme nicht so recht weiter. wäre dankbar für ein paar tips, bitte keine vollständige lösung. danke im voraus!
1. als induktionsanfang habe ich n=1 gesetzt, soweit kein problem (ergebnis=1).
2. dann hab ich n=n+1 gesetzt und gerechnet (versucht die gleichheit der entsprechenden terme zu zeigen).
ist das prinzipiell richtig so? gibt es irgendeinen trick den ich vielleicht einfach nicht kenne, oder ist meine "ausgangsposition" falsch?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
(edit: rechtschreibung)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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hallo Loddar!
danke für die schnelle antwort
ich habe versucht zu zeigen das
[mm] \bruch{n\cdot{}x^{n+1}-(n+1)\cdot{}x^{n}+1}{(x-1)^2} [/mm] + [mm] (n+1)\cdot{}x^n [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)\cdot{}x^{n+2}-(n+2)\cdot{}x^{n+1}+1}{(x-1)^2} [/mm]
bin davon ausgegangen das
[mm] \summe_{k=n+1}^{n+1}k\cdot{}x^{k-1} [/mm] = [mm] (n+1)\cdot{}x^n
[/mm]
ist das in ordnung so?
hab insgesamt schon locker 4 stunden über der aufgabe gebrütet und bekomme es nicht hin... aber wenigstens weiss ich jetzt das ich auf dem richtigen weg bin
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edit: da war ich zu voreilig, habe doch noch einen fehler drin :(
kann das vielleicht doch nochmal jemand kontrollieren was ich da rechnen will?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:40 Fr 05.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hoi!
> ich habe versucht zu zeigen das
>
> [mm]\bruch{n\cdot{}x^{n+1}-(n+1)\cdot{}x^{n}+1}{(x-1)^2}[/mm] +
> [mm](n+1)\cdot{}x^n[/mm] =
> [mm]\bruch{(n+1)\cdot{}x^{n+2}-(n+2)\cdot{}x^{n+1}+1}{(x-1)^2}[/mm]
>
> bin davon ausgegangen das
>
> [mm]\summe_{k=n+1}^{n+1}k\cdot{}x^{k-1}[/mm] = [mm](n+1)\cdot{}x^n[/mm]
>
> ist das in ordnung so?
Ja, das sieht gut aus!
Uebrigens: Man kann das ganze auch direkt beweisen, indem man benutzt, dass [mm] $\sum_{k=1}^n [/mm] k [mm] x^{k-1} [/mm] = [mm] \left( \sum_{k=0}^n x^k \right)'$ [/mm] ist. Nun ist [mm] $\sum_{k=0}^n x^k [/mm] = [mm] \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x}$ [/mm] (geometrische Summenformel, oder du zeigst halt das per Induktion), womit du die Gleichheit direkt nachrechnen kannst.
LG Felix
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merkwürdigerweise behauptet maple10, das
[mm] \bruch{n\cdot{}x^{n+1}-(n+1)\cdot{}x^{n}+1}{(x-1)^2} [/mm] + [mm] (n+1)\cdot{}x^n [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)\cdot{}x^{n+2}-(n+2)\cdot{}x^{n+1}+1}{(x-1)^2} [/mm]
nicht stimmt :(
ich bekomme das "per hand" aber auch nicht ausgerechnet.
bin ratlos!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Fr 05.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> merkwürdigerweise behauptet maple10, das
>
> [mm]\bruch{n\cdot{}x^{n+1}-(n+1)\cdot{}x^{n}+1}{(x-1)^2}[/mm] +
> [mm](n+1)\cdot{}x^n[/mm] =
> [mm]\bruch{(n+1)\cdot{}x^{n+2}-(n+2)\cdot{}x^{n+1}+1}{(x-1)^2}[/mm]
>
>
> nicht stimmt :(
MuPAD bekommt es auch nicht hin das nachzurechnen. Es stimmt aber, von Hand bekomme ich es hin
Bring das doch erstmal alles auf einen Nenner (mit Hauptnenner $(x - [mm] 1)^2$) [/mm] und multipliziere $(n + 1) [mm] x^n [/mm] (x - [mm] 1)^2$ [/mm] aus. Wenn du jetzt nach Potenzen von $x$ sortierst, sollte sich genau das auf der linken Seite ergeben, was du auf der rechten Seite brauchst.
LG Felix
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danke dir felix, nun hab ichs!
hatte nen winzig kleinen vorzeichenfehler drin der das ganze ziiiiemlich schwierig gemacht hat
*grinst wie ein honigkuchenpferd*
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Diese Nachricht dient nur dem Schließen des Threads, schließlich ist das keine Frage
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