Indukt. Binomialkoeffizient < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Do 13.11.2008 | | Autor: | bene88 |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
n,k [mm] \in \IN, k\len [/mm] m [mm] \in \IN\cup{0}. [/mm] Beweis der folgenden Identität:
[mm] \summe_{l=0}^{k} \pmat{ m \\ l} \pmat{ n \\ k-l } [/mm] = [mm] \pmat{ m+n \\ k } [/mm] |
bin so vorgegangen:
[mm] \summe_{l=0}^{k+1} \pmat{ m \\ l } \pmat{ n \\ k+1-l } [/mm] = [mm] \summe_{l=0}^{k} \pmat{ m \\ l} \pmat{ n \\ k-l } [/mm] + [mm] \pmat{ m \\ l } \pmat{ n \\ k+1-l } [/mm]
= [mm] \pmat{ m+n \\ k} [/mm] + [mm] \pmat{ m \\ k+1 } \pmat{ n \\ k+1-(k+1) } [/mm]
= [mm] \pmat{ m+n \\ k} [/mm] + [mm] \pmat{ m \\ k+1 } [/mm] + [mm] \pmat{ n \\ 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ m+n \\ k} [/mm] + [mm] \pmat{ m \\ k+1 }
[/mm]
kommen muss ich ja auf
[mm] \pmat{ m+n \\ k+1 }
[/mm]
wie geh ich jetzt weiter vor?
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[mm] \summe_{l=0}^{k+1} \pmat{ m \\ l } \pmat{ n \\ k+1-l } [/mm] = [mm] \pmat{ m \\ (k+1)} [/mm] + [mm] \summe_{l=0}^{k} (\pmat{ m \\ l} \pmat{ n-1 \\ k-l } [/mm] + [mm] \pmat{ m \\ l } \pmat{ n-1 \\ k+1-l }) [/mm]
= [mm] \pmat{ m \\ (k+1)} [/mm] + [mm] \pmat{ m+n-1 \\ k} [/mm] + [mm] \summe_{l=0}^{k} \pmat{ m \\ l } \pmat{ n-1 \\ k+1-l } [/mm] + [mm] \pmat{ n-1 \\ k+1 }
[/mm]
= [mm] \pmat{ m+n-1 \\ k} [/mm] + [mm] \pmat{ m \\ (k+1)} [/mm] + [mm] \summe_{l=0}^{k} \pmat{ m \\ l } \pmat{ n-1 \\ k+1-l }
[/mm]
= [mm] \pmat{ m+n-1 \\ k} [/mm] + [mm] \summe_{l=0}^{k+1} \pmat{ m \\ l } \pmat{ n-1 \\ k+1-l }
[/mm]
Jetzt hängt es momentan bei mir. Es sollte folgen:
= [mm] \pmat{ m+n-1 \\ k} [/mm] + [mm] \pmat{ m+n-1 \\ k+1} [/mm]
= [mm] \pmat{ m+n \\ k+1}
[/mm]
Vermutlich muss man auch nach n induzieren, da ich eine Induktionsvoraussetzung für k+1 und n-1 verwende.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Do 13.11.2008 | | Autor: | bene88 |
ich verstehe bei dem ersten schritt
[mm] \summe_{l=0}^{k+1} \pmat{ m \\ l } \pmat{ n \\ k+1+l }
[/mm]
= [mm] \pmat{ m \\ k+1 } [/mm] + [mm] \summe_{l=0}^{k} (\pmat{ m \\ l } \pmat{ n -1 \\ k-l } [/mm] + [mm] \pmat{ m \\ l } \pmat{ n -1 \\ k+1-l })
[/mm]
nicht wo das [mm] \pmat{ n -1 \\ k-l } [/mm] herkommt.
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> ich verstehe bei dem ersten schritt
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> [mm]\summe_{l=0}^{k+1} \pmat{ m \\ l } \pmat{ n \\ k+1+l }[/mm]
>
> = [mm]\pmat{ m \\ k+1 }[/mm] + [mm]\summe_{l=0}^{k} (\pmat{ m \\ l } \pmat{ n -1 \\ k-l }[/mm]
> + [mm]\pmat{ m \\ l } \pmat{ n -1 \\ k+1-l })[/mm]
>
> nicht wo das [mm]\pmat{ n -1 \\ k-l }[/mm] herkommt.
Hallo,
schau Dir das Additionstheorem für Binomialkoeffizienten an. Dies wurde für [mm] \pmat{ n \\ k+1+l } [/mm] verwendet.
Gruß v. Angela
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