Index ausrechnen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 So 03.06.2012 | | Autor: | hilbert |
Hallo ich soll den Index der Kurve [mm] \gamma(x) [/mm] = [mm] 2e^{ix}+\bruch{e^{10ix}}{2} [/mm] an den Stellen 0, 1+i und 1-i bestimmen.
Nach Definition für den Index brauche ich ja nur folgendes Integral zu lösen:
[mm] \bruch{1}{2\pi i}\integral_{\gamma}{\bruch{1}{z-z_0} dz}
[/mm]
Ich gehe mal davon aus, dass der Sinn dieser Aufgabe nicht ist 3 hässlich aussehende Integrale zu lösen.
Ich versuche es mal für [mm] z_0 [/mm] = 0:
[mm] \bruch{1}{2\pi i}\integral_{\gamma}{\bruch{1}{z} dz}=\bruch{1}{2\pi i}\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{2ie^{ix}+5ie^{10ix}}{2e^{ix}+\bruch{e^{10ix}}{2}} dz}.
[/mm]
Theoretisch steht ja jetzt im Zähler nichts anderes, als die Ableitung des Nenners, also kann ich doch hier wieder Substituieren und sagen sei t = [mm] 2e^{ix}+\bruch{e^{10ix}}{2} [/mm]
Dann komm ich auf folgendes Integral:
[mm] \bruch{1}{2\pi i}\integral_{5/2}^{5/2}{\bruch{1}{t} dt}= [/mm] 0.
1) Stimmt das so?
2) Kann ich das bei den anderen auch so machen?
Schonmal danke für die Hilfe
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Nein, das stimmt nicht. Du kannst reelle Kalküle nicht einfach aufs Komplexe übertragen. Daß die komplexe Funktion [mm]f(z) = \frac{1}{z}[/mm] keine Stammfunktion besitzt, ist Dreh- und Angelpunkt der Funktionentheorie.
Der Index einer geschlossenen Kurve muß immer [mm]\in \mathbb{Z}[/mm] sein. Anschaulich gibt er an, wie oft sich eine Kurve um den Punkt [mm]z_0[/mm] herumwindet. Jetzt kommt es also auf das Parameterintervall deiner Kurve an: ein Intervall der Länge [mm]2 \pi[/mm]?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 So 03.06.2012 | | Autor: | hilbert |
Hallo,
zeigt der Graph meine angegebene Funktion?
Das Problem was ich habe ist, wie ich nun den Index ausrechnen kann.
Ich kann ja schlecht ein Bild malen und sagen DA!.
[mm] 2\pi [/mm] lässt natürlich auf einen Kreis schließen, aber irgendwie steh ich total auf dem Schlauch =(
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Ich denke schon, daß du hier geometrisch argumentieren sollst. Inwieweit es genügt, eine Zeichnung zu machen, oder ob du auch noch begründen mußt, warum die Kurve so oder so aussieht, weiß ich nicht.
Oder du mußt rechnen ... dann viel Spaß dabei ...
Beim Rechnen würde es ja genügen, geeignet abzuschätzen. Man weiß ja, daß der Index eine ganze Zahl sein muß. Wenn es dir zum Beispiel gelänge zu zeigen, daß er [mm]> 2{,}04[/mm] und [mm]< 3{,}61[/mm] sein muß, dann wüßtest du: er ist 3.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 So 03.06.2012 | | Autor: | hilbert |
Also die Aufgabe lautet "bestimmen sie den Index" und im Skript steht nur, dass sich der Index mit diesem Integral ausrechnen lässt und dass wir wissen, dass er ganzzahlig ist. =/
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Dann berechne den Index. Da du schon weißt, daß er ganzzahlig sein muß, muß das Integral wegen dem Vorfaktor rein imaginär ausfallen. Der Realteil muß daher verschwinden. Wenn du ein bißchen rechnest, findest du für [mm]z_0=0[/mm] den Wert:
[mm]\frac{1}{2 \pi \operatorname{i}} \int_0^{2 \pi} \frac{\operatorname{i} \cdot \left( 2 \operatorname{e}^{\operatorname{i}t} + 5 \operatorname{e}^{10 \operatorname{i}t} \right)}{2 \operatorname{e}^{\operatorname{i}t} + \frac{1}{2} \operatorname{e}^{10 \operatorname{i}t}} ~ \mathrm{d}t = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \frac{11 \cos(9t) + \frac{13}{2}}{2 \cos(9t) + \frac{17}{4}} ~ \mathrm{d}t[/mm]
Und wie du das Ding nun ausrechnest, ist deine Sache. Wie schon gesagt: eine geschickte Abschätzung würde genügen.
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