Implizite Funktionen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ist die Gleichung [mm] $$x^2-2xy+4y^3=28$$ [/mm] an jedem ihrer Lösungspunkte (x,y) lokal nach mindestens einer der beiden reellen Variablen x,y auflösbar? |
Hallo,
also ich muss ehrlich sein, ich hab keine ahnung um was es hier genau geht. Ich hab mir mal implizite Funktionen angeschaut und denke dass diese Aufgabe auch in das Thema passt.
Aber so wirklich kapiert hab ich das mit den Impliziten Funktionen nicht.
Kann mir vielleicht jemand an der Aufgabe schritt für schritt erklären (wenns zu aufwändig ist einfach einen Tipp womit ich da zu Kämpfen habe und wie ich diese Aufgabe am besten angehen kann) wie ich eine solche Aufgabe lösen kann?
Ich bedank mich schon mal recht herzlich, denn ich lernen gerade auf die Nachklausur und merke ich kann noch recht wenig....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 Do 19.09.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
Hallo,
Sagt dir der Hauptsatz über implizite Funktionen etwas?
Gruß Thomas
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Hallo,
> Ist die Gleichung [mm]x^2-2xy+4y^3=28[/mm] an jedem ihrer
> Lösungspunkte (x,y) lokal nach mindestens einer der beiden
> reellen Variablen x,y auflösbar?
> Hallo,
Nimm mal einen Punkt her, der die Gleichung erfüllt. zb: (x,y) = (6,1)
Du bist also daran interessiert ob in diesem Punkt eine Auflösungsfunktion existiert.
Nun schlage in deinem Skript : Hauptsatz über implizite Funktionen nach und prüfe die erforderlichen Punkte.
Gruß Thomas
>
> also ich muss ehrlich sein, ich hab keine ahnung um was es
> hier genau geht. Ich hab mir mal implizite Funktionen
> angeschaut und denke dass diese Aufgabe auch in das Thema
> passt.
> Aber so wirklich kapiert hab ich das mit den Impliziten
> Funktionen nicht.
> Kann mir vielleicht jemand an der Aufgabe schritt für
> schritt erklären (wenns zu aufwändig ist einfach einen
> Tipp womit ich da zu Kämpfen habe und wie ich diese
> Aufgabe am besten angehen kann) wie ich eine solche Aufgabe
> lösen kann?
>
> Ich bedank mich schon mal recht herzlich, denn ich lernen
> gerade auf die Nachklausur und merke ich kann noch recht
> wenig....
>
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Ok ich hab mir unser Skript mal durchgelesen und habe da noch meine Schwierigkeiten....
Ich muss als erstes einen Punkt finden damit folgendes erfüllt ist:
$$f(a,b)=0$$
Ok, sagen wir mal ich gehe davon aus dass es einen solchen Punkt gibt und daher ihn nicht erst noch finden muss.
Dann als weitere Bedingung muss doch gelten:
[mm] $$det(\bruch{\partial f}{\partial x}(a,b)\not= [/mm] 0$$
Ok schön und gut. Ich versteh jetzt aber nicht was genau [mm] $\bruch{\partial f}{\partial x}(a,b)$ [/mm] ist.
Kann mir da vlt jemand an der Aufgabe das mal zeigen?
Danke
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> Ok ich hab mir unser Skript mal durchgelesen und habe da
> noch meine Schwierigkeiten....
> Ich muss als erstes einen Punkt finden damit folgendes
> erfüllt ist:
> [mm]f(a,b)=0[/mm]
> Ok, sagen wir mal ich gehe davon aus dass es einen solchen
> Punkt gibt und daher ihn nicht erst noch finden muss.
> Dann als weitere Bedingung muss doch gelten:
> [mm]det(\bruch{\partial f}{\partial x}(a,b)\not= 0[/mm]
> Ok schön
> und gut. Ich versteh jetzt aber nicht was genau
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(a,b)[/mm] ist.
> Kann mir da vlt jemand an der Aufgabe das mal zeigen?
> Danke
Hallo HH,
es handelt sich dabei um die Jacobi-Matrix der Funktion
$\ f:\ \ [mm] (x,y)\mapsto x^2-2\,x\,y+4y^3-28$
[/mm]
welche alle partiellen ersten Ableitungen von f enthält,
im vorliegenden Fall also
$\ [mm] D\,f(x,y)\ [/mm] =\ [mm] \pmat{\frac{\partial f }{\partial x}\\ \frac{\partial f }{\partial y}}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{2*x-2*y\\-2*x+12*y^2}$
[/mm]
Nun ist z.B. [mm] P_1(x=6,y=1) [/mm] ein Punkt mit f(x,y)=0 ,
d.h. dieser Punkt liegt tatsächlich auf der beschriebenen
Kurve. Nun betrachtet man einfach mal die partiellen
Ableitungen bzw. die Jacobi-Matrix in diesem Punkt:
$\ [mm] D\,f(6.1)\ [/mm] =\ [mm] \left \pmat{\frac{\partial f }{\partial x}\\ \frac{\partial f }{\partial y}}\right|_{x=6, y=1}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{2*6-2*1\\-2*6+12*1^2}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{10\\0}$
[/mm]
Die eine partielle Ableitung verschwindet zwar, aber die
andere nicht. Daraus lässt sich nun schließen, dass sich
die Gleichung f(x,y)=0 in einer gewissen (möglicherweise
nur kleinen) Umgebung des betrachteten Punktes lokal
nach einer der beiden Variablen (nach welcher ?), aber
nicht nach der anderen eindeutig auflösen lässt.
Natürlich ist dies jetzt nur die Untersuchung an einem
ganz bestimmten Kurvenpunkt.
Nun solltest du herausfinden, ob es allenfalls Kurven-
punkte gibt, in welchen beide partiellen Ableitungen
verschwinden ...
Entweder legst du also Punkte mit diesen Eigenschaften
auf den Tisch - oder du zeigst, dass es keine geben kann.
Bemerkung: Im Falle, dass beide partiellen Ableitungen
gleich 0 sind, wären weitergehende Untersuchungen nötig.
Jedenfalls würde ich auch eine Zeichnung der Kurve
empfehlen.
LG , Al-Chw.
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> > Ok ich hab mir unser Skript mal durchgelesen und habe da
> > noch meine Schwierigkeiten....
> > Ich muss als erstes einen Punkt finden damit folgendes
> > erfüllt ist:
> > [mm]f(a,b)=0[/mm]
> > Ok, sagen wir mal ich gehe davon aus dass es einen
> solchen
> > Punkt gibt und daher ihn nicht erst noch finden muss.
> > Dann als weitere Bedingung muss doch gelten:
> > [mm]det(\bruch{\partial f}{\partial x}(a,b)\not= 0[/mm]
> > Ok
> schön
> > und gut. Ich versteh jetzt aber nicht was genau
> > [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(a,b)[/mm] ist.
> > Kann mir da vlt jemand an der Aufgabe das mal zeigen?
> > Danke
>
>
> Hallo HH,
>
> es handelt sich dabei um die Jacobi-Matrix der Funktion
>
> [mm]\ f:\ \ (x,y)\mapsto x^2-2\,x\,y+4y^3-28[/mm]
>
> welche alle partiellen ersten Ableitungen von f enthält,
> im vorliegenden Fall also
>
> [mm]\ D\,f(x,y)\ =\ \pmat{\frac{\partial f }{\partial x}\\ \frac{\partial f }{\partial y}}\ =\ \pmat{2*x-2*y\\-2*x+12*y^2}[/mm]
>
> Nun ist z.B. [mm]P_1(x=6,y=1)[/mm] ein Punkt mit f(x,y)=0 ,
> d.h. dieser Punkt liegt tatsächlich auf der
> beschriebenen
> Kurve. Nun betrachtet man einfach mal die partiellen
> Ableitungen bzw. die Jacobi-Matrix in diesem Punkt:
>
> [mm]\ D\,f(6.1)\ =\ \left \pmat{\frac{\partial f }{\partial x}\\ \frac{\partial f }{\partial y}}\right|_{x=6, y=1}\ =\ \pmat{2*6-2*1\\-2*6+12*1^2}\ =\ \pmat{10\\0}[/mm]
>
> Die eine partielle Ableitung verschwindet zwar, aber die
> andere nicht. Daraus lässt sich nun schließen, dass
> sich
> die Gleichung f(x,y)=0 in einer gewissen (möglicherweise
> nur kleinen) Umgebung des betrachteten Punktes lokal
> nach einer der beiden Variablen (nach welcher ?), aber
> nicht nach der anderen eindeutig auflösen lässt.
Warum nur nach einer? Die Determinane ist ja [mm] $\not= [/mm] 0$ und von daher kann ich es ja auflösen. Oder hab ich da gerade einen Denkfehler?
> Natürlich ist dies jetzt nur die Untersuchung an einem
> ganz bestimmten Kurvenpunkt.
> Nun solltest du herausfinden, ob es allenfalls Kurven-
> punkte gibt, in welchen beide partiellen Ableitungen
> verschwinden ...
> Entweder legst du also Punkte mit diesen Eigenschaften
> auf den Tisch - oder du zeigst, dass es keine geben kann.
> Bemerkung: Im Falle, dass beide partiellen Ableitungen
> gleich 0 sind, wären weitergehende Untersuchungen nötig.
> Jedenfalls würde ich auch eine Zeichnung der Kurve
> empfehlen.
Na gut, aber wie zeige ich dass es keine weiteren Punkte geben kann, damit $f(x,y)=0$?
>
> LG , Al-Chw.
>
>
>
>
>
>
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Hallo HappyHaribo,
> > > Ok ich hab mir unser Skript mal durchgelesen und habe da
> > > noch meine Schwierigkeiten....
> > > Ich muss als erstes einen Punkt finden damit
> folgendes
> > > erfüllt ist:
> > > [mm]f(a,b)=0[/mm]
> > > Ok, sagen wir mal ich gehe davon aus dass es einen
> > solchen
> > > Punkt gibt und daher ihn nicht erst noch finden muss.
> > > Dann als weitere Bedingung muss doch gelten:
> > > [mm]det(\bruch{\partial f}{\partial x}(a,b)\not= 0[/mm]
> > >
> Ok
> > schön
> > > und gut. Ich versteh jetzt aber nicht was genau
> > > [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(a,b)[/mm] ist.
> > > Kann mir da vlt jemand an der Aufgabe das mal
> zeigen?
> > > Danke
> >
> >
> > Hallo HH,
> >
> > es handelt sich dabei um die Jacobi-Matrix der Funktion
> >
> > [mm]\ f:\ \ (x,y)\mapsto x^2-2\,x\,y+4y^3-28[/mm]
> >
> > welche alle partiellen ersten Ableitungen von f enthält,
> > im vorliegenden Fall also
> >
> > [mm]\ D\,f(x,y)\ =\ \pmat{\frac{\partial f }{\partial x}\\ \frac{\partial f }{\partial y}}\ =\ \pmat{2*x-2*y\\-2*x+12*y^2}[/mm]
>
> >
> > Nun ist z.B. [mm]P_1(x=6,y=1)[/mm] ein Punkt mit f(x,y)=0 ,
> > d.h. dieser Punkt liegt tatsächlich auf der
> > beschriebenen
> > Kurve. Nun betrachtet man einfach mal die partiellen
> > Ableitungen bzw. die Jacobi-Matrix in diesem Punkt:
> >
> > [mm]\ D\,f(6.1)\ =\ \left \pmat{\frac{\partial f }{\partial x}\\ \frac{\partial f }{\partial y}}\right|_{x=6, y=1}\ =\ \pmat{2*6-2*1\\-2*6+12*1^2}\ =\ \pmat{10\\0}[/mm]
>
> >
> > Die eine partielle Ableitung verschwindet zwar, aber die
> > andere nicht. Daraus lässt sich nun schließen, dass
> > sich
> > die Gleichung f(x,y)=0 in einer gewissen
> (möglicherweise
> > nur kleinen) Umgebung des betrachteten Punktes lokal
> > nach einer der beiden Variablen (nach welcher ?), aber
> > nicht nach der anderen eindeutig auflösen lässt.
> Warum nur nach einer? Die Determinane ist ja [mm]\not= 0[/mm] und
> von daher kann ich es ja auflösen. Oder hab ich da gerade
> einen Denkfehler?
Weil die partielle Ableitung der anderen Variablen an dieser Stelle verschwindet.
> > Natürlich ist dies jetzt nur die Untersuchung an
> einem
> > ganz bestimmten Kurvenpunkt.
> > Nun solltest du herausfinden, ob es allenfalls Kurven-
> > punkte gibt, in welchen beide partiellen Ableitungen
> > verschwinden ...
> > Entweder legst du also Punkte mit diesen Eigenschaften
> > auf den Tisch - oder du zeigst, dass es keine geben
> kann.
> > Bemerkung: Im Falle, dass beide partiellen Ableitungen
> > gleich 0 sind, wären weitergehende Untersuchungen nötig.
> > Jedenfalls würde ich auch eine Zeichnung der Kurve
> > empfehlen.
> Na gut, aber wie zeige ich dass es keine weiteren Punkte
> geben kann, damit [mm]f(x,y)=0[/mm]?
Bestimme diejenigen Punkte für welche beide partiellen Ableitungen verschwinden,
und prüfe, ob auch f(x,y)=0 erfüllt ist.
> >
> > LG , Al-Chw.
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
>
Gruss
MathePower
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Ok. Also die Punkte an denen die Ableitungen verschwinden sind: [mm] $P_1(0/0) [/mm] und [mm] P_2(1/6 [/mm] / 1/6).$
Und [mm] $f(x,y)\not=0$ [/mm] für die Punkte.
Und was jetzt?
Tut mir leid, aber ich kapier gerade echt nicht was genau ich machen muss.
Was sind den die einzelnen Schritte dich ich bei solch einer Aufgabe machen muss?
Ich glaube ich muss diese 2 Schritte hier bearbeiten:
1. Schauen für welche Punkte $f(x,y)=0$
2. Die partiellen Ableitungen dürfen in dem Punkt nicht verschwinden, also nicht 0 sein.
Wenn diese zwei Bedingungen erfüllt sind, kann man die Funktion für eine der Variablen in einer gewissen Umgebung auflösen??? :D
Danke für eure Geduld
Ok nach langem Überlegen (hab die Frage jetzt mehrmals geändert, habe miene erste überlegung stehen lassen) bin ich auf folgendes gekommen:
Ich leite die Funktion nach den einzelnen Variablen ab, und schaue an welchen Punkten die Funktion 0 wird. Also $f(x,y)=0$.
Hier in dem Beispiel habe ich es mit einem Gleichungssystem gerechnet und die Ergebnisse stehen ja oben.
Dann setze ich die Punkte auch in die Funktion ein und schaue ob sie (hier in dem Bsp.) 28 ergeben.
Ist das nicht der fall, dann kann ich in den Punkten auflösen, ansonsten ist die Funktion in den Punkten nicht auflösbar?!
Ich hoffe ich habe es richtig verstanden
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> Ok. Also die Punkte an denen die Ableitungen verschwinden
> sind: [mm]P_1(0/0) und P_2(1/6 / 1/6).[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Das ist unleserlich. Du meinst:
[mm]P_1(0\,|\,0)\quad und \quad P_2\left(\frac{1}{6} \right| \left \frac{1}{6}\right)[/mm]
> Und [mm]f(x,y)\not=0[/mm] für die Punkte.
> Und was jetzt?
Das bedeutet, dass auf der Kurve kein Punkt liegt, in
dessen Umgebung die implizite Kurvengleichung nicht
wenigstens nach einer der beiden Variablen (x oder y)
auflösbar ist.
> Was sind den die einzelnen Schritte dich ich bei solch
> einer Aufgabe machen muss?
> Ich glaube ich muss diese 2 Schritte hier bearbeiten:
> 1. Schauen für welche Punkte [mm]f(x,y)=0[/mm]
> 2. Die partiellen Ableitungen dürfen in dem Punkt nicht
> verschwinden, also nicht 0 sein.
> Wenn diese zwei Bedingungen erfüllt sind, kann man die
> Funktion für eine der Variablen in einer gewissen Umgebung
> auflösen??? :D
> Danke für eure Geduld
> Ok nach langem Überlegen (hab die Frage jetzt mehrmals
> geändert, habe meine erste überlegung stehen lassen) bin
> ich auf folgendes gekommen:
> Ich leite die Funktion nach den einzelnen Variablen ab,
> und schaue an welchen Punkten die Funktion 0 wird. Also
> [mm]f(x,y)=0[/mm].
> Hier in dem Beispiel habe ich es mit einem
> Gleichungssystem gerechnet und die Ergebnisse stehen ja
> oben.
> Dann setze ich die Punkte auch in die Funktion ein und
> schaue ob sie (hier in dem Bsp.) 28 ergeben.
> Ist das nicht der fall, dann kann ich in den Punkten
> auflösen, ansonsten ist die Funktion in den Punkten nicht
> auflösbar?!
> Ich hoffe ich habe es richtig verstanden
Jetzt sind wir einem etwas anderen Weg gefolgt.
Es ist nämlich so, dass f(x,y)=0 eine Gleichung mit
unendlich vielen Lösungspaaren ist. Man könnte sie
zwar mittels Lösungsformel der quadr. Gleichung nach
x auflösen und hat dann für x zwei mögliche Lösungs-
terme. Nachzuprüfen, in welchen Fällen damit (und mit y)
die partiellen Ableitungen verschwinden, könnte ziemlich
mühsam werden.
Darum haben wir einen anderen Weg eingeschlagen.
Weil die partiellen Ableitungen durch ganz einfache Terme
darstellbar sind, fällt es viel einfacher, herauszufinden,
für welche Punkte in der x-y-Ebene diese beiden
Ableitungen simultan verschwinden (gleich null werden).
Dieses Gleichungssystem hat nur zwei Lösungspunkte,
d.h. wir müssen uns gar nicht mit unendlich vielen
Lösungspunkten (der Gleichung f(x,y)=0) rumschlagen !
Weiter hast du ausgerechnet, dass in beiden Punkten
die Gleichung f(x,y)=0 nicht erfüllt ist. Im Umkehr-
schluss kann man jetzt also sofort sagen, dass es auf
der fraglichen Kurve keinen Punkt gibt, in welchem
sowohl [mm] $\frac{\partial f}{\partial x}\ [/mm] =\ 0$ als auch [mm] $\frac{\partial f}{\partial y}\ [/mm] =\ 0$ ist.
Mit anderen Worten also: die Kurvengleichung ist in
jedem ihrer Lösungspunkte (Kurvenpunkte) lokal
auflösbar. In allfälligen Punkten, wo sie nicht lokal
nach x auflösbar ist (es gibt einzelne solche Punkte),
ist sie lokal nach y auflösbar, und umgekehrt.
Lass dir die Kurve doch auch mal zeichnen, mit einem
grafischen Rechner oder mit einem Online-Plotter,
zum Beispiel bei ![[]](/images/popup.gif) Wolfram.
Zur Übung schlage ich noch vor, dass du auch alle
Kurvenpunkte berechnest, in welchen eine der
partiellen Ableitungen (aber nicht die andere) gleich
null wird. Mittels der Zeichnung kannst du dir
anschaulich klar machen, was dies jeweils genau
bedeutet.
LG , Al-Chwarizmi
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> > Ok. Also die Punkte an denen die Ableitungen verschwinden
> > sind: [mm]P_1(0/0) und P_2(1/6 / 1/6).[/mm]
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> Das ist unleserlich. Du meinst:
>
> [mm]P_1(0\,|\,0)\quad und \quad P_2\left(\frac{1}{6} \right| \left \frac{1}{6}\right)[/mm]
>
>
>
> > Und [mm]f(x,y)\not=0[/mm] für die Punkte.
> > Und was jetzt?
>
> Das bedeutet, dass auf der Kurve kein Punkt liegt, in
> dessen Umgebung die implizite Kurvengleichung nicht
> wenigstens nach einer der beiden Variablen (x oder y)
> auflösbar ist.
>
>
> > Was sind den die einzelnen Schritte dich ich bei solch
> > einer Aufgabe machen muss?
> > Ich glaube ich muss diese 2 Schritte hier bearbeiten:
> > 1. Schauen für welche Punkte [mm]f(x,y)=0[/mm]
> > 2. Die partiellen Ableitungen dürfen in dem Punkt
> nicht
> > verschwinden, also nicht 0 sein.
> > Wenn diese zwei Bedingungen erfüllt sind, kann man die
> > Funktion für eine der Variablen in einer gewissen Umgebung
> > auflösen??? :D
> > Danke für eure Geduld
> > Ok nach langem Überlegen (hab die Frage jetzt mehrmals
> > geändert, habe meine erste überlegung stehen lassen) bin
> > ich auf folgendes gekommen:
> > Ich leite die Funktion nach den einzelnen Variablen ab,
> > und schaue an welchen Punkten die Funktion 0 wird. Also
> > [mm]f(x,y)=0[/mm].
> > Hier in dem Beispiel habe ich es mit einem
> > Gleichungssystem gerechnet und die Ergebnisse stehen ja
> > oben.
> > Dann setze ich die Punkte auch in die Funktion ein und
> > schaue ob sie (hier in dem Bsp.) 28 ergeben.
> > Ist das nicht der fall, dann kann ich in den Punkten
> > auflösen, ansonsten ist die Funktion in den Punkten nicht
> > auflösbar?!
> > Ich hoffe ich habe es richtig verstanden
>
> Jetzt sind wir einem etwas anderen Weg gefolgt.
> Es ist nämlich so, dass f(x,y)=0 eine Gleichung mit
> unendlich vielen Lösungspaaren ist. Man könnte sie
> zwar mittels Lösungsformel der quadr. Gleichung nach
> x auflösen und hat dann für x zwei mögliche Lösungs-
> terme. Nachzuprüfen, in welchen Fällen damit (und mit
> y)
> die partiellen Ableitungen verschwinden, könnte ziemlich
> mühsam werden.
> Darum haben wir einen anderen Weg eingeschlagen.
> Weil die partiellen Ableitungen durch ganz einfache Terme
> darstellbar sind, fällt es viel einfacher,
> herauszufinden,
> für welche Punkte in der x-y-Ebene diese beiden
> Ableitungen simultan verschwinden (gleich null werden).
> Dieses Gleichungssystem hat nur zwei Lösungspunkte,
> d.h. wir müssen uns gar nicht mit unendlich vielen
> Lösungspunkten (der Gleichung f(x,y)=0) rumschlagen !
> Weiter hast du ausgerechnet, dass in beiden Punkten
> die Gleichung f(x,y)=0 nicht erfüllt ist. Im Umkehr-
> schluss kann man jetzt also sofort sagen, dass es auf
> der fraglichen Kurve keinen Punkt gibt, in welchem
> sowohl [mm]\frac{\partial f}{\partial x}\ =\ 0[/mm] als auch
> [mm]\frac{\partial f}{\partial y}\ =\ 0[/mm] ist.
> Mit anderen Worten also: die Kurvengleichung ist in
> jedem ihrer Lösungspunkte (Kurvenpunkte) lokal
> auflösbar. In allfälligen Punkten, wo sie nicht lokal
> nach x auflösbar ist (es gibt einzelne solche Punkte),
> ist sie lokal nach y auflösbar, und umgekehrt.
>
> Lass dir die Kurve doch auch mal zeichnen, mit einem
> grafischen Rechner oder mit einem Online-Plotter,
> zum Beispiel bei
> Wolfram.
>
> Zur Übung schlage ich noch vor, dass du auch alle
> Kurvenpunkte berechnest, in welchen eine der
> partiellen Ableitungen (aber nicht die andere) gleich
> null wird. Mittels der Zeichnung kannst du dir
> anschaulich klar machen, was dies jeweils genau
> bedeutet.
Für [mm] $f_x(x,y)$ [/mm] wird die partielle Ableitung null wenn $x=y$ aber ohne [mm] $(x,y)=(\bruch{1}{6}|\bruch{1}{6})$ [/mm] und $x=y=0$ da sonst [mm] $f_y(x,y)$ [/mm] auch null wäre.
Für [mm] $f_y(x,y)$ [/mm] wird die partielle ableitung null wenn, ja wann?
Ich habe ja [mm] $x=6y^2$. [/mm] Ich könnte ja $x$ einfach mal als null setzen, dann wäre $y=0$. Aber da gibt es ja unendlich viele Lösungen....
Habe ich vlt. die Aufgabenstellung falsch verstanden?
Mfg HH
>
> LG , Al-Chwarizmi
>
>
>
>
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Graph: Wolfram.
> > Zur Übung schlage ich noch vor, dass du auch alle
> > Kurvenpunkte berechnest, in welchen eine der
> > partiellen Ableitungen (aber nicht die andere) gleich
> > null wird. Mittels der Zeichnung kannst du dir
> > anschaulich klar machen, was dies jeweils genau
> > bedeutet.
> Für [mm]f_x(x,y)[/mm] wird die partielle Ableitung null wenn [mm]x=y[/mm]
> aber ohne [mm](x,y)=(\bruch{1}{6}|\bruch{1}{6})[/mm] und [mm]x=y=0[/mm] da
> sonst [mm]f_y(x,y)[/mm] auch null wäre.
[mm] f_x(x,y)=0 [/mm] gilt in der Ebene für alle Punkte auf der Geraden
mit der Gleichung y=x (Winkelhalbierende zewischen Achsen).
Diese Gerade hat genau einen Punkt mit der Kurve f(x,y)=0
gemeinsam. Bei Wolfram (siehe oben) kannst du übrigens
ganz leicht diese Gerade auch einzeichnen und den Schnitt-
punkt berechnen lassen (was auch von Hand ganz leicht geht).
Und man sieht: in diesem Schnittpunkt hat die Kurve eine
Tangente parallel zur x-Achse !
> Für [mm]f_y(x,y)[/mm] wird die partielle ableitung null wenn, ja
> wann?
> Ich habe ja [mm]x=6y^2[/mm].
Das ist die Gleichung einer Parabel in der x-y-Ebene.
> Ich könnte ja [mm]x[/mm] einfach mal als null
> setzen, dann wäre [mm]y=0[/mm].
Nein. Berechne die Schnittpunkte der Parabel mit der
Kurve f(x,y)=0 . In diesen Punkten hat die Kurve Tangenten
parallel zur y-Achse !
Schau da: Wolfram
LG , Al-Chw.
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> > Hallo HH,
> >
> > es handelt sich dabei um die Jacobi-Matrix der Funktion
> >
> > [mm]\ f:\ \ (x,y)\mapsto x^2-2\,x\,y+4y^3-28[/mm]
> >
> > welche alle partiellen ersten Ableitungen von f enthält,
> > im vorliegenden Fall also
> >
> > [mm]\ D\,f(x,y)\ =\ \pmat{\frac{\partial f }{\partial x}\\ \frac{\partial f }{\partial y}}\ =\ \pmat{2*x-2*y\\-2*x+12*y^2}[/mm]
>
> >
> > Nun ist z.B. [mm]P_1(x=6,y=1)[/mm] ein Punkt mit f(x,y)=0 ,
> > d.h. dieser Punkt liegt tatsächlich auf der
> > beschriebenen
> > Kurve. Nun betrachtet man einfach mal die partiellen
> > Ableitungen bzw. die Jacobi-Matrix in diesem Punkt:
> >
> > [mm]\ D\,f(6.1)\ =\ \left \pmat{\frac{\partial f }{\partial x}\\ \frac{\partial f }{\partial y}}\right|_{x=6, y=1}\ =\ \pmat{2*6-2*1\\-2*6+12*1^2}\ =\ \pmat{10\\0}[/mm]
>
> >
> > Die eine partielle Ableitung verschwindet zwar, aber die
> > andere nicht. Daraus lässt sich nun schließen, dass
> > sich
> > die Gleichung f(x,y)=0 in einer gewissen
> (möglicherweise
> > nur kleinen) Umgebung des betrachteten Punktes lokal
> > nach einer der beiden Variablen (nach welcher ?), aber
> > nicht nach der anderen eindeutig auflösen lässt.
> Warum nur nach einer? Die Determinane ist ja [mm]\not= 0[/mm] und
> von daher kann ich es ja auflösen. Oder hab ich da gerade
> einen Denkfehler?
Beachte, dass es in diesem Fall gar nicht um eine
Determinante (einer [mm] 2\times2 [/mm] - Matrix) geht, sondern
nur um die zwei Werte von [mm] f_x [/mm] und [mm] f_y [/mm] (dies wären
quasi zwei Determinanten von [mm] 1\times1 [/mm] - Matrizen !)
LG , Al-Chw.
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