Implizite Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] F(x,y):=x^3+y^3-6xy=0. [/mm] Skizziere den Graphen von F und bestimme jene Punkte, wo y als Funktion von x darstellbar ist. |
Ich weiß, dass dies überall dort der Fall ist, wo die Ableitung nach y ungleich 0 ist. In diesem Beispiel erhalte ich dafür [mm] y=\wurzel[2]{2x}. [/mm] Die Aufgabe wäre damit gelöst, nur ist mir einiges unklar. Setze ich dies in die Funktion ein und löse die Gleichung nach x, erhalte ich für x=0 und [mm] x=\wurzel[3]{32}. [/mm] Was sagen diese beiden Werte aus? Was ist mit den Werten dazwischen, also im Intervall [mm] (0,\wurzel[3]{32})? [/mm] Anhand der Skizze würde ich glauben, dass auch hier keine explizite Darstellung gefunden werden kann!? (da ja genau in diesem Bereich jedem x kein eindeutiges y zugeordnet wird)
Habe auch versucht, eine explizite Darstellung mithilfe der Cardanischen Formeln zu finden. Dabei ist die Diskrimante wieder genau dann größer 0, wenn x<0 oder [mm] x>\wurzel[3]{32}. [/mm] Ich stoße also auch hier wieder auf diese Werte, weiß aber nicht genau warum und wie das in Verbindung zu der Ableitung nach y steht!?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo mathestudent222, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei [mm]F(x,y):=x^3+y^3-6xy=0.[/mm] Skizziere den Graphen von F und
> bestimme jene Punkte, wo y als Funktion von x darstellbar
> ist.
> Ich weiß, dass dies überall dort der Fall ist, wo die
> Ableitung nach y ungleich 0 ist. In diesem Beispiel erhalte
> ich dafür [mm]y=\wurzel[2]{2x}.[/mm] Die Aufgabe wäre damit
> gelöst, nur ist mir einiges unklar. Setze ich dies in die
> Funktion ein und löse die Gleichung nach x, erhalte ich
> für x=0 und [mm]x=\wurzel[3]{32}.[/mm] Was sagen diese beiden Werte
> aus? Was ist mit den Werten dazwischen, also im Intervall
> [mm](0,\wurzel[3]{32})?[/mm]
Das ist zu prüfen; es genügt dafür ein einziger Wert in diesem Intervall, z.B. 1. Ist [mm] 1+y^3-6y=0 [/mm] eindeutig lösbar?
> Anhand der Skizze würde ich glauben,
> dass auch hier keine explizite Darstellung gefunden werden
> kann!? (da ja genau in diesem Bereich jedem x kein
> eindeutiges y zugeordnet wird)
So ist es.
> Habe auch versucht, eine explizite Darstellung mithilfe der
> Cardanischen Formeln zu finden. Dabei ist die Diskrimante
> wieder genau dann größer 0, wenn x<0 oder
> [mm]x>\wurzel[3]{32}.[/mm] Ich stoße also auch hier wieder auf
> diese Werte, weiß aber nicht genau warum und wie das in
> Verbindung zu der Ableitung nach y steht!?
Na, im Intervall zwischen diesen beiden x-Werten ist die Funktion nicht explizit als y=f(x) darstellbar.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:42 Fr 04.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]F(x,y):=x^3+y^3-6xy=0.[/mm] Skizziere den Graphen von F und
> bestimme jene Punkte, wo y als Funktion von x darstellbar
> ist.
> Ich weiß, dass dies überall dort der Fall ist, wo die
> Ableitung nach y ungleich 0 ist.
Das reicht nicht !
> In diesem Beispiel erhalte
> ich dafür [mm]y=\wurzel[2]{2x}.[/mm]
Hä ? Meinst Du vielleicht: [mm] F_y\ne [/mm] 0 [mm] \gdw[/mm] [mm]y \ne \wurzel[]{2x}.[/mm]
> Die Aufgabe wäre damit gelöst,
Ganz bestimmt nicht !
> nur ist mir einiges unklar. Setze ich dies in die
> Funktion ein und löse die Gleichung nach x, erhalte ich
> für x=0 und [mm]x=\wurzel[3]{32}.[/mm] Was sagen diese beiden Werte
> aus? Was ist mit den Werten dazwischen, also im Intervall
> [mm](0,\wurzel[3]{32})?[/mm] Anhand der Skizze würde ich glauben,
> dass auch hier keine explizite Darstellung gefunden werden
> kann!? (da ja genau in diesem Bereich jedem x kein
> eindeutiges y zugeordnet wird)
Ich hab keine Ahnung , was Du da treibst !!
>
> Habe auch versucht, eine explizite Darstellung mithilfe der
> Cardanischen Formeln zu finden.
Oh Gott ! Das ist doch gar nicht verlangt !
> Dabei ist die Diskrimante
> wieder genau dann größer 0, wenn x<0 oder
> [mm]x>\wurzel[3]{32}.[/mm] Ich stoße also auch hier wieder auf
> diese Werte, weiß aber nicht genau warum und wie das in
> Verbindung zu der Ableitung nach y steht!?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Der Satz über implizit definierte Funktionen besagt:
Ist [mm] (x_,y_0) \in \IR^2, [/mm] ist [mm] F(x_0,y_0)=0 [/mm] und ist [mm] F_y(x_0,y_0) \ne [/mm] 0,
so gibt es eine Umgebung U von [mm] x_0 [/mm] und genau eine stetig differenzierbare
Funktion $y:U [mm] \to \IR$ [/mm] mit:
F(x,y(x))=0 für alle x [mm] \in [/mm] U.
Gesucht sind also solche Punkte [mm] (x_0,y_0)
[/mm]
FRED
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> Hä ? Meinst Du vielleicht: $ [mm] F_y\ne [/mm] $ 0 $ [mm] \gdw [/mm] $ $ y [mm] \ne \wurzel[]{2x}. [/mm] $
Ja, genau so habe ich es gemeint.
Reicht es dann zu sagen, dass y in all jenen Punkten als Funktion von x darstellbar ist, wo $ F(x,y)=0 $ und $ y [mm] \ne \wurzel[]{2x}. [/mm] $ gilt?
Ich weiß, dass das andere nicht verlangt war. Ich wollte nur versuchen, ob ich nicht auch durch Finden einer expliziten Funktion schon jene Punkte erkenne, wo das nicht geht. Der Satz der impliziten Funktion sagt mir ja nur etwas über die Existenz, nicht, wie ich die explizite Darstellung finden kann, hab ich das richtig verstanden?
In der Skizze ist außerdem schön erkennbar, dass die Funktion im Intervall [mm] (0,\wurzel[3]{32}) [/mm] nicht explizit dargestellt werden kann. Auf genau diese beiden Werte stoße ich bei meinen Rechnungen auch. Wenn ich aber keine Skizze hätte, könnte ich dann auch irgendwie daraus schließen, dass das in diesem Intervall nicht geht? (Ich weiß, dass das nicht verlangt war)
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Hallo mathestudent222,
> > Hä ? Meinst Du vielleicht: [mm]F_y\ne[/mm] 0 [mm]\gdw[/mm] [mm]y \ne \wurzel[]{2x}.[/mm]
>
> Ja, genau so habe ich es gemeint.
>
> Reicht es dann zu sagen, dass y in all jenen Punkten als
> Funktion von x darstellbar ist, wo [mm]F(x,y)=0[/mm] und [mm]y \ne \wurzel[]{2x}.[/mm]
> gilt?
Besser: [mm]y^{2} \ne 2x.[/mm]
Die Punkte, für die das nicht geht, kannst Du ausrechnen,
das Du ja schon getan hast.
Die gegebene Gleichung ist in allen Punkten (x,y)
nach y auflösbar, für die [mm]x \notin \left\{0, \ \wurzel[3]{32}\right\}[/mm]
>
> Ich weiß, dass das andere nicht verlangt war. Ich wollte
> nur versuchen, ob ich nicht auch durch Finden einer
> expliziten Funktion schon jene Punkte erkenne, wo das nicht
> geht. Der Satz der impliziten Funktion sagt mir ja nur
> etwas über die Existenz, nicht, wie ich die explizite
> Darstellung finden kann, hab ich das richtig verstanden?
>
Das hast Du richtig verstanden.
> In der Skizze ist außerdem schön erkennbar, dass die
> Funktion im Intervall [mm](0,\wurzel[3]{32})[/mm] nicht explizit
> dargestellt werden kann. Auf genau diese beiden Werte
> stoße ich bei meinen Rechnungen auch. Wenn ich aber keine
> Skizze hätte, könnte ich dann auch irgendwie daraus
> schließen, dass das in diesem Intervall nicht geht? (Ich
> weiß, dass das nicht verlangt war)
Gruss
MathePower
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