Implizite Funktion < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:11 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Jana85 |
Hallo,
ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter:
Betrachten Sie die Gleichung
[mm] x^{2+\epsilon} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x+2\epsilon}
[/mm]
für x [mm] \in \IR [/mm] und [mm] |\epsilon| [/mm] klein. Zeigen Sie, dass es ein [mm] \epsilon_{0} [/mm] > 0 gibt, so dass die obige Gleichung für alle [mm] |\epsilon| [/mm] < [mm] \epsilon_{0} [/mm] genau eine Lösung [mm] x=x(\epsilon) [/mm] hat.
ich habe mir gedacht, ich kann diese Aufgabe mit dem Satz über implizite Funktionen machen indem ich mir die Funktion f: [mm] \IR^{2} [/mm] --> [mm] \IR [/mm] definiere mit [mm] f(\epsilon,x) [/mm] = [mm] x^{2+\epsilon} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x+2\epsilon}
[/mm]
Und wenn ich nun zeigen kann, dass f stetig diffbar ist und in einem Punkt a:=(x*,y*) f(a) = 0 ist, dann ex. Eine Funktion g und eine Umgebung U mit [mm] g:U-->\IR [/mm] und f(x,g(x))=0 für alle x [mm] \in [/mm] U
Allerdings hätte ich dann nur, dass solche Punkte existieren und nicht, dass genau einer existiert, ich würde dann nämlich g als [mm] x(\epsilon) [/mm] setzen... allerdings weiß ich auch nicht wie ich beweisen soll, dass f stetig diffbar ist und dass ein solcher Punkt existiert... aber es würde mir ja auch nichts bringen, da die eindeutigkeit, also genau eine Lösung... fehlt...
Ich hoffe ihr könnt mir hier ein wenig weiterhelfen...
LG Jana
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:33 Fr 04.01.2008 | | Autor: | max3000 |
Ich glaube nicht, dass hier der Satz über implizite Funktionen weiterhilft.
Was hattet ihr noch für Sätze im aktuellen Kapitel?
Bevor wir den Satz über implizite Funktionen hatten kam der Banachsche Fixpunktsatz und genau den sollte man hier meiner Meinung nach anwenden.
Forme dazu die Gleichung in eine Fixpunktgleichung um:
[mm] x^2*x^\epsilon=\bruch{1}{x+2\epsilon}
[/mm]
[mm] x=\bruch{1}{\wurzel{(x+2\epsilon)x^\epsilon}}
[/mm]
Somit hast du eine Funktion [mm] \phi:\IR\rightarrow\IR
[/mm]
mit [mm] \phi(x)=\bruch{1}{\wurzel{(x+2\epsilon)x^\epsilon}}
[/mm]
Jetzt muss eine Kontraktion erfüllt sein, damit es einen Fixpunkt gibt, also
es existiert [mm] k_\epsilon, [/mm] so dass
[mm] |\phi(x)-\phi(y)|\le k_\epsilon|x-y| [/mm]
ist. Für die [mm] \epsilon, [/mm] für die [mm] k_\epsilon\in[0,1) [/mm] gibt es einen eindeutigen Fixpunkt.
Leider krieg ich es nicht hin, diese Kontraktion abzuschätzen, da brauch ich noch Hilfe von anderen.
Es kann auch sein, dass es eine Funktion [mm] \phi [/mm] gibt, für die das leichter geht, etwa [mm] \phi(x)=\bruch{1}{x+2\epsilon}-x^{(2+\epsilon)}+x.
[/mm]
Ich poste es mal nur als Mitteilung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:57 Sa 05.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Ich finde die Idee mit dem Satz über implizite Funktionen nicht schlecht. Ich hätte spontan auch erst einmal zum Banachschen Fixpunktsatz gegriffen, aber der Nachweis der Kontraktion ist nicht so einfach.
> ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter:
>
> Betrachten Sie die Gleichung
>
> [mm]x^{2+\epsilon}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x+2\epsilon}[/mm]
>
> für x [mm]\in \IR[/mm] und [mm]|\epsilon|[/mm] klein. Zeigen Sie, dass es ein
> [mm]\epsilon_{0}[/mm] > 0 gibt, so dass die obige Gleichung für alle
> [mm]|\epsilon|[/mm] < [mm]\epsilon_{0}[/mm] genau eine Lösung [mm]x=x(\epsilon)[/mm]
> hat.
>
> ich habe mir gedacht, ich kann diese Aufgabe mit dem Satz
> über implizite Funktionen machen indem ich mir die Funktion
> f: [mm]\IR^{2}[/mm] --> [mm]\IR[/mm] definiere mit [mm]f(\epsilon,x)[/mm] =
> [mm]x^{2+\epsilon}[/mm] - [mm]\bruch{1}{x+2\epsilon}[/mm]
>
> Und wenn ich nun zeigen kann, dass f stetig diffbar ist und
> in einem Punkt a:=(x*,y*) f(a) = 0 ist, dann ex. Eine
> Funktion g und eine Umgebung U mit [mm]g:U-->\IR[/mm] und
> f(x,g(x))=0 für alle x [mm]\in[/mm] U
>
> Allerdings hätte ich dann nur, dass solche Punkte
> existieren und nicht, dass genau einer existiert, ich würde
> dann nämlich g als [mm]x(\epsilon)[/mm] setzen... allerdings weiß
> ich auch nicht wie ich beweisen soll, dass f stetig diffbar
> ist und dass ein solcher Punkt existiert... aber es würde
> mir ja auch nichts bringen, da die eindeutigkeit, also
> genau eine Lösung... fehlt...
Du denkst ein klein bischen zu kompliziert. Such dir doch erst einmal ein Paar [mm](\epsilon,x)[/mm], für das [mm]f(\epsilon,x) = 0[/mm] ist. An diesem Punkt wendest du den Satz über implizite Funktionen an. Dann weisst du, dass in einer Umgebung von [mm](\epsilon,x)[/mm] die Funktion g(x) eindeutig ist.
[mm]\epsilon=0[/mm] bietet sich dafür an.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 So 06.01.2008 | | Autor: | Jana85 |
Hallo,
vielen Dank für die Hilfe 
Ich habe mir jetzt mal den Punkt (0,1) angeschaut und zwar ist dann f(0,1) = 1 - 1 = 0.
So nun wende ich den Satz über implizite Funktionen an und erhalte eine Umgebung U von [mm] \epsilon [/mm] = 0 und eine stetig diffbare Funktion g: U --> [mm] \IR
[/mm]
Ich weiß nun auch, dass g(0) = 1 und, dass [mm] (\epsilon,g(\epsilon)) [/mm] im Defbereich von f liegen und auch [mm] f(\epsilon,g(\epsilon)) [/mm] = 0 für alle [mm] \epsilon \in [/mm] U
So nun kann ich doch für mein gesuchtes [mm] \epsilon_{0} [/mm] einfach das maximale [mm] \epsilon \in [/mm] U nehmen und dann das Problem gegessen, oder?
Grüße und nochmals vieeeelen Dank, ohne euch wäre ich echt verloren THX
Jana
PS: Ich habe nun noch eine Frage, ich weiß ja nun, dass ein solches g existiert, aber weiß ich auch wie es aussieht? Würde mich mal interessieren, oder ist dies nun nur wieder solch eine Existenzbeweisaufgabe die ich hasse...denn man beweist, dass etwas existiert, aber weiß nicht wie es aussieht...
PPS: an max3000: also den satz hatten wir auch, aber ich bekomme leider auch keine kontraktion hin...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 So 06.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Jana!
> Ich habe mir jetzt mal den Punkt (0,1) angeschaut und zwar
> ist dann f(0,1) = 1 - 1 = 0.
>
> So nun wende ich den Satz über implizite Funktionen an und
> erhalte eine Umgebung U von [mm]\epsilon[/mm] = 0 und eine stetig
> diffbare Funktion g: U --> [mm]\IR[/mm]
>
> Ich weiß nun auch, dass g(0) = 1 und, dass
> [mm](\epsilon,g(\epsilon))[/mm] im Defbereich von f liegen und auch
> [mm]f(\epsilon,g(\epsilon))[/mm] = 0 für alle [mm]\epsilon \in[/mm] U
>
> So nun kann ich doch für mein gesuchtes [mm]\epsilon_{0}[/mm]
> einfach das maximale [mm]\epsilon \in[/mm] U nehmen und dann das
> Problem gegessen, oder?
Ja, du musst allerdings, um den Satz anwenden zu können, noch nachweisen, dass
[mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(0,1)\not=0 [/mm]
ist.
> PS: Ich habe nun noch eine Frage, ich weiß ja nun, dass ein
> solches g existiert, aber weiß ich auch wie es aussieht?
> Würde mich mal interessieren, oder ist dies nun nur wieder
> solch eine Existenzbeweisaufgabe die ich hasse...denn
> man beweist, dass etwas existiert, aber weiß nicht wie es
> aussieht...
Ein bischen mehr weisst du schon: aus dem Satz folgt nämlich eine Darstellung für [mm]g'(\epsilon)[/mm]:
[mm] g'(\epsilon) = -\bruch{\displaystyle\vphantom{\Biggl(}\bruch{\partial f}{\partial \epsilon}(\epsilon,g(\epsilon))}{\vphantom{\Biggl(}\displaystyle\bruch{\partial f}{\partial x}(\epsilon,g(\epsilon))} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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